

ET D'ANALYSE. *9 



VI. 



SUR UNE FONCTION TRANSCENDANTE. 



1. Dans le Mémoire intitulé : Recherches sur quelques produits indéfinis. 

 j'ai considéré la fonction 



F (r/) = r/ -t- 9 * -t- r/ -+- r/ 8 -+- • ••, (I) 



dont l'illustre Jacobi s'était occupé. On va voir que F («y) représente la 

 somme (inconnue) d'une série analogue à celle de Lambert. 



2. Lemme. Soit N un nombre entier. Soit <J un diviseur impair de N, 

 composé d'un nombre impair de facteurs premiers, inégaux. Soit enfin tf un 

 diviseur impair de N, composé d'un nombre pair de facteurs premiers, 

 inégaux. Cela posé, le nombre des diviseurs 3, égal au nombre des diviseurs â', 

 est 2" _1 ; n représentant le nombre des facteurs premiers, impairs et inégaux, 

 (feN. 



Soient a, b, c, cl, e, ... ces facteurs premiers. Les valeurs de â sont 



a, b, c, d, ..., abc, abd, aed, bed, . . ., abede, ...; 



les valeurs de 3' sont 



I, ab, ac, bc, ..., abcd, abce, bede, ... 



Or, par la théorie des combinaisons, on sait que le nombre des termes 

 contenus dans chacune de ces deux lignes est 2" _1 ; donc. etc. 



3. Considérons la série 



9(tt \ = -l ?! t JL t. ?!_+ 9' 5 f 1 a <r 



T\l) M a ~3 I „5 I _7 1 -Il i _l.l" t " 



\-q I-7 3 1-f/ )-</' l-f/" \-q" i-q is 1_ ? " ( _y => j_y< 



q n q n ^si r/3 3 9 3s 



l-<7 43 1-r/ 29 l- 9 31 l-^ 3 l-ry 3 



