20 NOTES D ALGEBRE 



ou, pour abréger, 



a, b, c, d, ... étant des nombres premiers, impairs et inégaux. 



Si chaque fraction est développée en série, la somme de toutes ces séries 

 prendra la forme 



A,7, -<- Ajç 2 h h A n q" -i ; 



ainsi 



<pfo)=2" A »«" ( 5 ) 



Cela posé, il y a deux cas à distinguer : 



1° Si n est une puissance de 2, le terme k n q n provient, uniquement, 

 de jz^; donc A n = l. 



2° Si n n'es/ p«s une puissance de 2, cet exposant a la forme 

 2* a* 6 3 c y ff... ; A„ égale le nombre des diviseurs <$', moins le nombre des 

 diviseurs S; ou, d'après le lemme, A n = . 



Conséquemment, 



<p[q)=\ -+- <}- -+- ^ + </ 4 -+- 9 8 -+- -..= ¥(q); (4) 



ou bien 



F (</) = q -4- q i + q' + </ s -+- • ■ ■ j 



9 y 9° y 7" y _£j__ H ... (S) 



4. Si, dans cette égalité (5), on change q en — q, il vient 



— q + f/ s -+- (/' -t- q* -+- • • • 



- i + ^^^d + î ^ 1 + 7°' ^ 1 + 9* 



puis, par soustraction, 



? v 7" y 7"* y 7° tc 



q — \ — tf Z\-q* + Z\-q™ Z\-q 



c'est-à-dire : 



q g' g" g 1 g" q a 7 18 7" 



'— Try'~l_ 9 « |_ g « l- 7 " l-r/« 1-7 26 I-7 30 i-î"| 



23 ,.29 „31 53 «35 



<?" 7 2 ' g" 7 g" g" | 9 



TZTji + ï^q* i-q* \-q™ 1-</ 6î + 1 -g 66 "*" 1-9" 



(6) 



