ET D ANALYSE. 23 



ont pour somme 



Donc 



1/11 1 \ 1 2* +i — 1 



-In 1 i----h = •• 



i \ 2 4 2 a / » 2 a 



■=» l aœ+l i 



en supposant, pour plus de régularité, n impair. 



2. La formule (10) abrège, singulièrement, le calcul de S„. Soit, par 

 exemple, n = 101. On trouve 



127 1 63 1 31 /Il i \15 H 1 1 \ 7 



101 64 3 52 5 16 \7 9 11/8 VIS 13 25/4 



11 1 \ 3 / 1 1 1 



1 ►-•■• -t- • H 1 (-•■• H 



27 29 49/2 \al 55 101 



Ainsi, au lieu de cent additions de termes appartenant à la série harmo- 

 nique, il en reste seulement 2 + 6 -{- 11 -}- 25 = 44. 



3. On simplifie la formule (1) en prenant « pour variable. A cet effet, 

 divisons n par 1, 2, 2% 2% ..., 2*, 2" +l , ... Soient, en général, 

 a, a -f- 2, a -f 4, ... b les nombres impairs compris entre ~ et ^r,. Nous 

 pouvons écrire : 



°g°(\ 1 1\ 2*^ — 1 



^-2.t-ïTi*-- i -ï)-p- (2)r) 



L'exemple ci-dessus est une application de cette dernière formule. 



(*) Soit, suivant la notation de Legendre, E( x+i j = q, le plus grand entier contenu 

 dans -jf+j" - Le nombre des fractions -, -, ...,- égale q ou q -+- 1 , selon que E f—J est 



pair ou impair. 



