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NOTES D ALGEBRE 



VIII. 



SUR L'ÉQUATION DEULER : y (c -t- nx) dx - {y -t- a + bx + nx 2 ) dy = 0. 



I. L'intégration de cette équation, déjà simplifiée par Le Besgue (*), 

 peut l'être encore, de la manière suivante. 



J'observe, en premier lieu, que si n = 0, on rend l'équation homogène 

 en posant a + bx = z. Supposant donc n différent de zéro, et remplaçant 

 y par ny, on a 



(c \ , r a b 1 , 



y\ — -i-x]dx — «h 1 — x -t- x*\dy = 0; 



\n I L n n J 



ou, par un simple changement de notation : 



y {x — c) dx = [y -t- (a; — «) (x — b)\dy (1 ) 



Telle est donc la forme à laquelle on peut réduire l'équation d'Euler. 



IL Soit 



l'équation (4) devient 



y( *- c) r ): 



y -t- (x — a) (x — 6) 



dx 



du 



(x — o) (x — b) (x — c) u (u ■+- c — a) (u -t- c — b)' 



(2) 



ou, si l'on fait 



u -\- c = v : 



dx 



rfv 



(x — «) (x — 6) (x — c) (v — a)(v — 6) (v — c)' 



(3) 

 (4) 



(') Journal de Liouville, tome X. 



(**) Transformation employée par Euler. 



