4 SUR QUELQUES FORMULES 



Démonstration. Considérons la série dont le terme général serait 



* »-/)+! ■ 



1- 



n ■+■ i 



Le produit de ce ternie, par son rang, est 



(m — p + i )«„_,,+, = 1 



Conséquemment, 



n + 1\ »-''+' 



■i \ 



-(l-WO 



i -H a/ 



Km [(« — p -»- 1) m„_,, +1 ] = I fe ,+ *] = I + '/ : 



la série est divergente (*). Donc, d'après le premier lemme, le produit P 

 est divergent. 



Théorème. « étant une quantité positive quelconque, on a 



a. a la 



a(«— 1). 



in- i) 



I 1.2 



1 . 2 . . . n 



2 a 



(A) 



Démonstration. Le reste de la série est, par une formule connue (* 



R = 



a. (a — 1 ) . . . (a -+- n) 1 



1 . 2. . .(n -+- 1) (1 -h 9)" 



Soit /; le nombre entier immédiatement supérieur à a : on peut écrire 



«(a— 1)...(q — p-t- 1) (p — g) (p + 1 — a) ... (H — a) 1 _ 



1.2...p ( P '+l)(p + 2)...(» + <) (l + e)"**-*" 



Des trois facteurs de R, le premier est constant; le deuxième a pour limite 

 zéro (Lemme II); le troisième ne surpasse pas l'unité. Donc dm R = 0. 



(*) Cours d'Analyse de l'Université de Liège, p. 12. 

 (*') Idem, p. 570. 



