SUR QUELQUES FORMULES 



III. 



Le premier membre égale 



r(2w + a + i)_r(p -+-« + !)_ r(2w-H«-<-i)np+ >)r(«) ^ b(p + m) ... 

 r(n + a + d) ' np + i) r(n-+-«-+-i)r(p + «-+- i)r(»)~B(» + «+i,«) 



Ainsi , pour n e/ p entiers positifs : 



B(p -*-!,») = 'S' C (w -4- a — p) . . . (» -4- a -4- 1 — p — l) 



B(n-*-a-t-l,n) S ' (p-t-l)---(P -*-*') 



IV. 



Dans l'égalité (C), supposons /; = «; nous aurons (**), par une simple 

 inversion de facteurs : 



B (2n -4- a -4- 1, « -4- 1) _ <S! n[n — l)...(n — i + 1) a(a — 1) . ■ ■ (a -4- 1 — t) 

 B (2« -4- I , n -+- « -+- 1 ) _ â (n -+- 1) .■•(» + 1 . 2 . . . e 



puis, en faisant croître n indéfiniment : 



B (2M -4- a -+- I , h -4- I ) « a (a — i) 

 **'»« — ^ ,x = 1 ■+" 7 H T - ^ ' » 



B(2>! -4- 1, II -4- a -4- 1) 1 1.2 



(*) Si l'on n'introduit pas, aux deux termes, le facteur r(«)> la fraction devient 



B (2n -4- * -4- 1 , p -4- 1) 



B(»-4-«-4- l,p-4- H -4- i) 



Donc, conformément à un théorème d'EuIcr : 



B (3n -4- * -4- 1 , f) -4- I ) B (jJ-4- 1, ») 



B(li-4-*-4- 1, p-4-»-4- 1) B(H-4-«-4- l,«) 



(Mélanges mathématiques, p. 152.) 

 (") Voir la note précédente. 



