SUR QUELQUES FORMULES 



VI. 



Dans l'égalité 



B(p+i,«) _Vr [n + a — P) ■■■ [n ■*-« + i —p — i) 



B(« + «-»-!,«) S, (p + l)...(p + «) 



je change jo+l, » + «+4, h en p, q, ni; ce qui donne, en faisant varier 

 i de « l'infini (*) : 



B( ? ,m) à ""' p(/'+ \)...{p-\ +i) 



Celle relation, comme la précédente, paraît d'abord soumise à de nom- 

 breuses restrictions. Néanmoins, elle est générale, c'est-à-dire qu'elle subsiste 

 si /;, q, m étant des quantités positives, le second membre est un polynôme 

 ou une série (**). 



Démonstration. 1° Le nombre ni étant quelconque, la série (G) est tou- 

 jours convergente. 



Il y a deux cas à distinguer, suivant que q — p = =f c, c désignant une 

 quantité positive (***). 



Si q — p== — c, ou p = q-\-c, les termes de la série (G) sont, en valeur 

 absolue, respectivement inférieurs à ceux de la série convergente 



m m (m — I) 



I -t- - -+- — '- h = 2™ A) 



I 1.2 



(") Si, comme nous l'avons supposé jusqu'à présent, m est un nombre entier, les termes qui 

 devraient suivre le (m-t-l)' mc sont nuls. Dès lors, la restriction i ^ m devient inutile, au moins 

 dan ^ ce cas. 



(") Nous reproduisons ici, en les complétant cl les simplifiant, les démonstrations et les cal- 

 culs dont nous avons fait usage dans les Mélanges mathématiques, pp. loi et suiv. En outre, 

 nous conservons la notation C,,,,, qui ne représente plus un nom lire de combinaisons, si »i n'est 

 pas entier positif. 



(***) Abstraction faite du signe, c = a. 



