RELATIVES AUX INTEGRALES EULÉRIENNES. \[ 



Si q — p = -f- c , le produit 



[q — p) {q — p — *) ■ • ■ {q — p -*- i — = c (c — i) . . . (c + î — i) 

 est moindre que 



donc la série (G) est encore convergente. 

 2° Si p surpasse q, 



(q - p) (q - p — 1) . . . (q — p -f- 1 - /) = ( (;j — 7) (p -+- 1 - q) . . . (p -+- ■/ — 1 — y) 



-( 1) . r ^ + t '-'?) r Wr(f/) _ iv »(p + «-?.?) _, 1v - „A*'-*~'(» -«M*» 

 r (p - 7) r (p + r (q) " ' b (p - ? , ? ) b< p - q , g) 



L'égalité à vérifier est donc 



B (p — V, Q) B (p, m) '. fe° 



B ( JL) =/«—('-«>-'*;§ <- V<±* 



OU 



b (p — <b q) B (p, '» 



= f& ''"'(l — 0)"'+''-'f/u. 



B [q, m) 



ou enfin 



B (p, i» ) _ B (p — 7, m + 7) 

 B(q,m) B(p—q,q) 



Or, d'après le théorème d'Euler, celle-ci esl identique. 



3° La formule (G) élan! démontrée pour les valeurs de q inférieures à p, 

 il suffît de vérifier qu'elle subsiste quand on y change q en </ + 4. Par le 

 fait de ce changement, on a l'égalité qu'il faut prouver : 



B(p,m) _Ç ( 9 _p + .|)( 9 ,_p)...(y-p H - 2 -i) 



^ "'' ' « In -i- A \ In I _j_ .*> ' ' 



B (7 -t- t, m) â P (P + I ) • ■ • (p — 1 + 



D'ailleurs, pour q<p, la formule (G) donne l'égalité démontrée : 



B(p+1, m— A) _y° c (? — p ) ■ ■ ■ (7 — p -M — t) 



B (7 h- !,,»-)) â ""'■' (p + 1)...(p + «) U 



