12 SUR QUELQUES FORMULES 



Or si l'on combine, par soustraction, ces deux dernières formules, on 

 trouve, à cause de 1 — 1 = 0: 



B (p, m) BJp, m) _ m S° (q — p) . . . (q — p -+- 2 — ï) 



~" — ^ ^m— i.i-i" 



B (q -h I, m) B ((/, i») p S (p + 1) . . . (p — 4 -*- i) 



= ™vj° c (<y— p)...(qr — p + 1 — t)_ 

 Fm '""''' (p -+" 1)...(p-t- I) 



c'est-à-dire, en vertu de la relation (2) : 



B (p, m) B(p, m) )»B (p -t- 1, Ml — d) 



B (q + 1 . m) _ B (</, »n) _ p B (</ + 1, »t — 1)' 

 OU 



1 B(p, m) 1 B(p + t,»-l) 



q B (</, m) y)li(i/+ l,i«- I) 



(3) 



ce qui est identique. Ainsi l'égalité (1) est une conséquence de Yégalité 

 démontrée (2) et de ïidentité (3); etc. 



VII. 



Si, clans la relation (G), on change p en q, q en p, on obtient 



b to »0 _ 'y r (p — 9) (p — 9 — • • • (p — 9 -*- * - (c s 



B(p,m) lt, 9(9^ ')---(9 - ' -*- 



formule conjuguée de (G). Développées, ces formules deviennent, respec- 

 tivement : 



B(p,»H) »H</-p w(m— <)(9-p)(9— p— 1) m(m-d)(m— 2)(q-p)(q-p-i)(q— p-2) 



= lH -4-"— 1 -+-•••,( II) 



B(r/,m) 1 p 1.2 /)(/)-+- 1) 1.2.5 p(p-t--l)(p-+-2) 



ti(q,m) wpj m[ni-i)(p-q)(p-q—\) m (m- l)(m-2)(p-f/)(p-y-t)(p-r/-2) ^ 



H(p,»i)~ "*"'! 9 + 1.2 f/ (q -+- 1 ) *" 1.2.5 q(q + i)(q + '2) + " 



