RELATIVES AUX INTEGRALES EULERIENNES. 



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ou 



A„A„ 



2m — I 



(L) 



Au moyen de celle relation (*), le calcul de A,„ est ramené à celui de 



1 ''U 



Mais, par un théorème d'EuIer, 



•"©r©-.^ 



donc 



A„=- 



'IV -lr 



(M) 



Je dis, maintenant, que A = f ' -^— est réductible à F, Cl/»)- 



./ \' eus - ri/ 







Pour démontrer cette propriété, qui n'est pas nouvelle (**), il suffit de 

 faire cosy = cos 2 ,r. 



Il résulte, en effet, de cette transformation : 



>in tp = V \ — eos'x = sinx 1/2 — sin'x, rf«p = 2 — 



cosxrfx 



1/2 — sur .r 



puis 



A =|/2F J (\/i). 

 On a donc, entre les transcendantes r({-), F,((/|-), cette relation simple 



r - 



*>'»-*.(Vi 



(*) Elle subsiste pour toute râleur de in, supérieure à ~. 



") Elle est cependant peu connue. Je ne l'a î trouvée, ni dans le Calcul intégral de M. Ber- 

 trand, ni même dans la Théorie de la fonction gamma, par Henri Limbourg. Legendrc démontre 

 la formule (N), mais d'une manière un peu obscure. 



