

SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 5 



vV- [1 -+- 2r/ -+- 2f/ 4 + 2c/ 9 + 2(/'° + ■ • •] = \/-, [1 -+- 2?'+ 29"+ 2ç"+ 2f/" c + • • •] , (25) (") 



; i + ^,' + ," + ,- + ... = - 1 —2y-H2 g «— 2^-4-27" 



"* 1-,-2</-t-2f/-+-2r/ + 27'°-f- •■■' 1 -4- 2(/-+-27 4 -+- 2g 9 -+-2g ie -4- • • • ' ^" ' J 



. i — 2«7 2 -4-2f/ 8 — 2</ 18 -+- 2r/ 3 ' 2 _ 1 — g — if + if -4- 7 10 — r/ 15 



1 -4- 2f/ -4- 27* -4- 27 S -4- 27 16 H _ I -4- 7 -4- 7 3 -4- 7 -4- 7' -!- 7' 1 -4- • • • ' 



, — i I - 5o s -4- 57 — 7q" -4- 9g*° 



^^ (i + ^^^v + ...y ' (28) 



(l-t-2r/-t-2g 4 +2</ , + ••■)' — (I -27 + 27*— 27°+ ...) i =d67(l + g s -4- 7° + g» +■••)*, (29) ('*) 

 (l+2g-4-2g*-v-2g 9 + ...)» + (1— 2g + 2g 4 -2g 9 -t- •■•)'= 2 (1 +2} ! +2 9 , +2 î "+ -)'. (50) ("") 

 (l+2g-t-2g 4 -+-2g 8 -t- ..f — (i-27 + 27 4 — 27° -4- ...)*= 87 (1 -4- 7 4 -4- q a + g* 4 -+-••■)*• . (51) 



II. 



DÉVELOPPEMENTS DES PRODUITS a, a', (3, [3' ET DE QUELQUES-UNES 

 DE LEURS COMBINAISONS. 



2. Développement de (3(3'. Si y (/i) représente le nombre des décomposi- 

 tions de n en parties positives , entières, inégales, il est visible que 



(3(3' = (1 + 7)(I +7 2 )(1 + q 3 )- = 2J ?(»)?" • ' • • ( 52 ) (*'") 



(') Cauchy, Mémoire sur la Théorie des nombres (1850, p. 614). Cette relation, conséquence 

 des formules (2) et (8), y est énoncée ainsi : 



« a* ri+e-»°--4- e- 4 » 2 -4- e- 9 "* -4- •■• 1 =b* |-+ e-' 2 -4- e- 4 ' 2 -4- e" 9 ' 2 -+- -H 



si 



ab = /T. B 



(**) Cette identité, qui équivaut à la relation 



(38 — «8 = 16gj3'8, 



a été écrite autrement par Jacobi (Fundamenta nova, p. 90). 



(***) Celle-ci résulte immédiatement d'une formule donnée par Cauchy (Comptes rendus, 

 t. XVII, p. 550). 



(*"*) On suppose 9(0)= 1. 



