4 RECHERCHES 



.'). Développement de -■ D'après la relation (7), ^ = /3/5'; ainsi 



-=2>W?" (35) 



4. Développement de fi. Soit y, [n) le nombre des décompositions de n e« 

 parties impaires, inégales; alors 



(3 = (l + 7)(l + 7'-)(l + ,/).•• = T ?.»</" (34) 



""0 



5. Développement de fJ . De même, ^ («) désignant le nombre des décom- 

 positions de n ew parties paires, inégales, 



p' = (l-,- 7 2 )(l + 7 ')(l + ,-/V = 2"%(")7" (35) 



(5. Remarque. Le produit /3', qui renferme seulement les puissances paires 

 de q, se déduit de /3/3' par le changement de q en q' 2 ; donc 



P' = 2J<p («)?*", • . (30) 



et 



% (2«) = 9 (n) ; 

 relation évidente. 



7. Décomposition de 9 (n). Dans le produit des séries (34), (35), le 

 coefficient de </" a pour valeur 



% («) ■+■ 9. ■ ( I ) 9- (« 1) ■+- <Pi (2)9,- (»-î)+-+f,(»-l) % ( I ) -+- 9, (n). 



Donc, quand w est /mm>, ou a, d'après la formule (32), 



9 (») = % (») + 9. ('') % (« — *) + 9, (6) 9, (m — (!) + • • • + <p, (« — 2) <p„ (2) h- 9, (m) ; (57) 



et, quand // est impair. 



9 (") = 9 ( I ) % (» — 1 ) ■+- 9. (3) 9. (n — 3) + • ■ ■ -4 <p ( (n — 2) <p„ (2) + <p, (n) . . (38) 



Soit, par exemple, n= 4 3. La Table III donne 



9(13)=18, 9,(l) = l, 9.(3) = l, 9.(S)=I, ?.-(7)=l, <M») = 2, 9.(H) = 2, ft(13) = 5, 

 <p,(12)=4, 9,(l»') = 3, ft(8) = 8, <fc(6) = 8, 9,(4) = !, 9, (2) = 1 ; 



