6 RECHERCHES 



Il en résulte que Ton doit avoir, identiquement, 

 2" (—4)- 9, (b) ?*"= [i + ?, (2) >r + % (4) g 4 + •••]*—[?,■ (l)ç + ?, (3) 7 3 + ■••]*; (44) 

 puis, suivant que /* est pair ou impair : 



±<p,(n)=<p,(2B) + ^( 2 > <P,-(2b— 2) h- cp, (4) cp,(2«— 4) + •■• + 9,(2» — 2) <p,(2) + o,(2«) 



— [<?■(!) <p.-(2« — 1) -t- <p.-(3) tp,(2« — 5) m h «p,-(2« — 1)9,(1)] . . (42) 



Par exemple : 



- <p,. (9)=2[<pi (18) + 9,(2)9,(16) + tp j (4)?,(14) + cp,.(6)(p 1 .(42) + 9. (8) 9, (10)] 



- [cp,(l)(p i (47) + <p i (5)cp ( (iS) + cp j (b)(p 1 .(43) + <p 1 .(7)(p i (ll) + ?.(9)<P.(9) + -] 

 9,(10) = 9,(20) + (p.(2)cp j (18)- + -9 1 .(4)9,(l(;) + q5 l (G)cp j (14)+cp l (8)cp,(l2) + ?,(IO)(p 1 (IO) 



-+- 9,(12)9,(8) h 



- 2 [9, .(t) cp, (10) + 9, (5) 9, (17) + 9, (b) 9,(15) + 9, (7) 9, (43) + 9, (9)?, (11)]. 



En effet, ces deux égalités se réduisent à (*) 



— 2 = 2 [5 -^ 1 . 3 -t- 1.3 + 4] — [1.5+4.4+ 1.3 + 4. 2 + 4 + 2 + 3 + 4 + S] 

 = 2 . 1 5 — 52 , 

 2 = 7 + 1.5 + 4.3 + 2.3 + 2.2+3.2 + 3.4+3.4+7 

 — 2 [4. 6 + 4. 5 + 4. 4 + 4. 3 + 2. 2] = 46 — 2. 22. 



12. Remarque. Si Ton suppose 



« = /'('/) ■ • • |, ' r " 



on a, par ce qui précède, 



P = A-ï). «P = W)i • • • ■ (**) 



puis 



/W(- 7) = /'(7' 2 ); ( 43 ) 



relation qui nous sera utile plus loin. 



13. Développement de <**'. 1° Euler a trouvé (**) celte formule remar- 

 quable : 



««' = (l- 7 )(l_f)(l-r/)-.. = V(-l)'7 s .. . (46) 



(*) Voir la Table 111. 



(**) Introduction à l'Analyse, p. 250. 



