SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 7 



2° Représentons par n p le nombre des décompositions de n en un nombre 

 pair de parties inégales, et par m, le nombre des décompositions de n en un 

 nombre impair de parties inégales; nous aurons, comme on le voit sans peine, 



o«' = 2"("p — n i)9" (47) 







14. Conséquences. D'après ces deux expressions de ax' : 



1° Si le nombre n n'est pas pentagonal, il admet autant de décompositions 

 en un nombre pair de parties inégales, que de décompositions en un nombre 

 impair de parties inégales ; 



2° Si le nombre n est pentagonal , c'est-à-dire, s'il est compris dans la 

 formule n = ° ~^ > l'excès du premier nombre de décompositions sur le se- 

 cond , est ( — 1 )' ; 



3° Le nombre total des décompositions de n, en parties inégales, c'est- 

 à-dire y (n), est impair ou pair, selon que n est ou n'est pas pentagonal ; 



4° Si le nombre n est pentagonal, 



«, = \ [?(») + (-*)']; "i = \ [?(»)-(-!)']; (*») 



5° Dans le cas contraire, 



i 

 n„ = n,= -<p (h) (49) 



1 5. Développement de a'. Cette fonction se déduit de ««' par le change- 

 ment de q en </-; donc 



«' = (1-^(1— «*)(!- g 1 )- — 2" (—*)' 9""'= 2" ("»-"-) 9" • • (80) 



16. Relation entre les nombres y,. Écrivons ainsi les formules (46), 

 (39), (so) : 



aa' = 1 — q — ry 2 -4- (f -4- (j>—q {ï — q' s + g" -+- 9 26 -_ g»— ry 40 -t- ry 51 -+- f/ "_ ... , (SI) 



« = 1 -?<(<)? + ?< (2) ?'-?, (3) ç 5 -♦- (p f (4) 9 « (39) 



a'=l — r/ 2 — <7»-wy"»-+- ç 14 — q" — q*> + g"-t- 7 B2 _ r y'° — r/ 8l, -+---- (82) 



Dans le produit des deux dernières séries, le coefficient de q n est 



(— 1 )" [cp,. (n) — ^ (m — 2) — 9,. [n — 4) -+- ç, [n — 10) + 9 (m — 1 4) — 9, (n — 24) ] . 



