8 RECHERCHES 



Comparant avec le développement (si), on a cette proposition , analogue 

 à un célèbre théorème d'Euler (*) : 

 La fonction 



tp, (n) — ç, (n — 2) — cp, (n — 4) -+- 9j (n — 1 0) -*- cp, (» — i 4) — • • ■ 



e^afe ( — l)" _l ou zéro, selon que le nombre n est ou n'est pas pentagonal. 

 1 7. Développements de a' fi'. 1° Par les formules (ôo), (52) : 



*'p = (l- q *- q * +q "+ q u )2"<p(»)g'" (55) 



2° A cause des définitions (i), (0) et de la formule (si) : 



3° De 



,^'=1+,/+,/ + ^ + ,^ , (|o) 



i=2' D (-l) n <P.-W, (40) 



p II • 



on conclut 



a'S' = (l + f/ 2 +r/ +r/'^...) 2" (-1 )"?.(") f" (55) 



4° Les relations (21), (32) donnent, semblablement, 



»'p'=(i— 7 — g»-+-9«-»-g" )2>W9" (S») 



(*) Parmi toutes les démonstrations de ce théorème, la plus simple est peut-être celle qu'a 

 donnée Labev, dans ses Xotes sur l Introduction à l'Analyse. Voici comment on la peut pré- 

 senter : 



De (1— X ) (I —a; 2 ) (1 — a; 3 ) • .. = 1 — x — «'-+- a- ; -+-a- 7 , 



on déduit, en prenant les logarithmes et les dérivées, 



1 1x 3a; 2 1 -4-2*— SX* — 7a ''H 



1 — x 1 — x- 1 — x* 1 — x — x- ■+■ x -4- X :' — -•■ 



puis, en multipliant par x et développant le premier membre : 



.c -+- ix- — .">,r' — la? ■+■ ■ ■ 



x -+- ôx- -4- ix' -+- Ta- 1 -+- . -t- x" f n -4- = 



1 — a; — .r' 2 -+- a ;' -4- a" 



Enfin, chassant le dénominateur, et identifiant, on a : 



J n — 1 1 [n — ] ) — / (» — 2) -hj (n - o) -+- f(n — 7) — = zéro ou ± ». 



