SLR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 9 



5° Si Ton change q en — q, on trouve 



a>' = (1 + q H-V ï +7 6 +V , °+---)2*(-' )>(")<•/" ( 37 ) 



18. Relations entre les nombres 9. 1° D'après les valeurs (»s), (:jî) : 

 //« fonction 



9 (w) — 9 (m - 1) — 9 (m — 2) + tp (w — 5) -+- cp (w — 7) — 9 (n — 12) , 



raw/fe sî n n'est pas le double d'un nombre pentagonal, se réduit à ( — 1)' dans 

 le cas contraire, c'est-à-dire quand n = 3f =p/. 



2° La comparaison des valeurs (s*), (se) donne cet autre théorème : 



La fonction 



<p(«) — <p(w— 1) —9 [n — 5) + f(u — 6) + cp (h— 10) — ç(n — 15) , 



nulle si n n'est pas le quadruple d'un nombre pentagonal, se réduit à ( — 1) 

 dans le cas contraire, c'est-à-dire quand n = 2/(3£q=l). 



1 9. Relations entre les nombres p.. Elle se déduit des formules (yi), (ss) : 

 La fonction 



<p f (») — cp, (« — I ) — cp, (m — 3) h- cp, (n — 0) + cp, (n — 1 0) , 



nulle si n ra'esi pas le double d'un nombre pentagonal, se réduit à ( — 1)"~ 

 dans le cas contraire. 



20. Vérifications des quatre derniers théorèmes. 



1° 9,(15) — 9,(15) — 9, (11)+ 9,(5) + 9,(1) = 4 — 5— 2 + 1+ I = 1 = (— 1 ) 1 *-*, 



9,(1 l)-cp, (9)-cp,.(7) + ?,(!) = 2- 2 - 1 + 1 = 0; 

 2° 9(11)— 9(10)— 9(9) + 9(6) + 9(4) = 12— 10 — 8 + 4 + 2 = 0, 



9(14) — 9(13)— 9(12) + 9 (9) + 9(7) - (2) = 22 — 18— 13-+-8 + 5 — 4=1 = (— I)"" 2 : 

 3° 9(11) — 9(10)— 9(8) + 9(j) + 9(1) = 12—10 — 6 + 3+ 1 = 0, 



9(20) — 9(19) — 9(17) + 9(14) + 9(10) — 9 (5) = 64 — 54-38+22+10— 3 = 1 =(— If; 

 4° 9,(1 1)-9,(I0)- 9,(8) + 9,(5) + 9,(1) =2 — 2 — 2+1+1=0, 



9,(14) — 9,(13)— 9,(1 i) + 9, (8) + 9, (4)= 3 — 3 — 2 + 2 + 1 =1=(— I)' 4 -' 2 . 



21. Remarques. I. On a, simultanément : 



aa = 1 — q — g* + q" + q 1 — q lt — q" + q u ■*■••■ , (51) 



a > = | _ q * _ ? < + ? «»+ ç«_ ,/' - f> + g« + ■ (52) 



aï = I — q*- (f + </ i0 + r/ 28 - 7 iS - v 60 + q" + ■ ■ • (34) 



