SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 1 1 



Par conséquent, si <p (n) représente le nombre des décompositions de n en 

 parties entières, positives, égales ou inégales, 



i _,» 



— = 2 <K»)«" («») 



y.y. ""o 



23. Relation entre les nombres <p. A cause du développement de ««' (si), 



on a le théorème suivant : 



La fonction 



ip (n) — 1(/ (n — 4) — ((/ (m — 2) + (fi (« — S) + •} (w — 7) 



es* nulle pour toutes les valeurs de n (*). 



24. Développement de-- Soit <f, («) le nombre des décompositions de n 

 ew parties impaires, égales ou inégales ; alors 



-=^'= 2" +«(»)«" ( 66 ) 



/ ) 



25. Remarque. D'après la formule (52). 



<p,(n) = <p(n); (67) 



ou, ce qui est équivalent : 



//_y a autant de décompositions d'un nombre n, en parties impaires, égales 

 ou inégales , que de décompositions de n en parties inégales (**). 



26. Développement de— • Si, dans la formule (es), on remplace <y par q-, 

 le premier membre devient ^(15); donc 



-;=r^(")^" < ,;8 > 



a. **a 



27. Autre expression de-,~ Elle résulte, immédiatement, des formules 

 (es), (ee), (07) : 



_ _ ^ (6!)) 



(*) On suppose <|i (0) = 1. 

 (**) Euleh, Introduction à l'Analyse, p. 252. 



