SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 13 



32. Développement de^- Les fonctions «, /3 ne diffèrent que parle chan- 

 gement de q en — q. Donc (eo), (07) : 



i = «p'=2"(-iy<p(»)9" (73) 



33. Second développement de «. On a 



a = i 7 = (1 - 7 + r/ - </'+.. •) (1 - «f -h 9 * ) (1 - 9 5 + ç 6 ) ... 



Un produit partiel quelconque a la forme 



(_ qf (_ 7 2 ) 4 (— r/ 3 ) c -..=(— •) )«+*+<••• 7 «+m+3^- = (_ 4)..+'-+.+- g,». 



Ce produit égale ± r/% suivant que le nombre « + 6 +c -\ , des parties 



de n, est pair ou impair. Donc, dans le développement cherché, le coeffi- 

 cient de q" est égal à l'excès s n du nombre des décompositions de n en un 

 nombre pair de parties, égales ou inégales , sur le nombre des décompositions 

 de n en un nombre impair de parties, égales ou inégales. Autrement dit, 



"=S' =2 >" <7 "> 



34. Remarques. I. La comparaison avec le premier développement (39) 



donne cette relation 



*„ = (-!)"?,(«) (75) 



II. Si n P , n-, sont les nombres dont il s'agit, l'on a 



M P -H tl s =^ (m); 



et, par conséquent, 



Hp : 



I[+(h) + (_i )"?..(»)], ». = ^ [<M»o -(- 1 )"?«(»)]• • • ( 7<i )0 



III. i|/ (n) e/ y. (n) soh£ de même parité. 



(*) Nous avons trouvé, ci-dessus (14), des formules analogues à celles-ci. 

 Tome XL. 



