SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 15 



ou 



(— 1 )" [<p, (n) -+- tpi (» — 1 ) — <p f (» — 2) — <p f (« — 5) — tp f (m — 7) — <p< (n — 12) -*- ••■]. 



Identifiant cette quantité avec le terme général de la série (82), on a ce 

 nouveau théorème : 

 La fonction 



f< (m) -t- <p f (« — I ) — f, (» — 2) — ©i (w — a) — <p, (« — 7) 



égale 2 ou céto, suivant que n es/ ou n'est pas carré (*). 

 Par exemple : 



? ,(t6)+<p l (l3)-(p,(l4)-tp,(ll)-<p ( (9)-?.( / + ( P.( l ) = 5)+4-3-2- 2 - 1 + l = - , - ;2 ' 

 <p f (25)-+- <p, (24) — (f t (25) — f t (20) — ^(18) — <p,(13)-H <p,(10) -t- f { (5) 



= 12 -+- H — 9 — 7 — S — 3-t- 2-t- i = -+- 2, 

 f, (24) -+- ^ (23) - ?, (22) - «p, ( 1 9) — <p, (17) — qn (1 2) + <p, (9) + «p.- (2) 



= H + o_8 — G — 5 — 5 -+- 2 h- = 0. 



40. Remarque. Le produit a'/5 2 est décomposable en «'/3 X /3; donc, à 

 cause des formules (u), (si) et (77) : 



. 1 -+- 27 -4- 2r/ 4 + 27' -4- ... = [I + r/ — g ! — r/ 5 — «/' ] 2 " ?■ (") ?" ■ ' ' ( 83 ) 



Identifiant les deux membres, on retombe sur le théorème précédent. [Ad.] (**) 



41. Autre relation entre les nombres^. Si l'on décompose ««'/3 en /3x««'> 

 et que Ton ait égard aux formules 



[3 = 1 -+- 9i (i) (/ - t - (? ,(2) 7 2 + cp l (3)f/-+--.-, (34) 



«a' = 1 - g - r/ 2 -h r/ -w/ 7 - </ 12 - 17' 1 -*- r/ 22 -w/ 26 ,. . • • (51), 



on^trouve la proposition suivante : 

 La fonction 



f ( {n) — fi(n — 1) — <p»(n— 2) -t- (p 4 (ra — 5)-t-Çj(re— 7)— fi[n — 12) — fi{n— 1S)-+- ••• 

 ^ tt / e 2 ( — i)ï 0tt 5e >o, surôajif gue n est ou n'est pas le double d'un carré. 



(*) Le terme général est ( — ] )"~' <p f (m — u), a désignant — ^ 



('*) Nous indiquons ainsi les additions au texte primitif. 



