16 RECHERCHES 



Exemples : 



tp 1 .(8)-<p 1 (7)-<p 1 (6)-H ?i (3) + cp,.(1)=2-l -1 + 1 + 1=2 = 2 (-1)\ 



9,(18)— tp,(17)-cp,(l(i) + (p 1 (l3) + (p 1 (ll)-(p 1 (G)- <p,(3)=5— 5— 5 + 5 + 2— 1 — 1=— 2=2 (— If, 



?( (16)-(p,(15)-cp 1 (14)+rj>,(ll)+(p,(9)— (p,(4)- ? ,(l)=S-i-3 + 2+2— 1—1 = 0. 



42. Corollaire. Si Ton combine les deux derniers théorèmes, on en con- 

 clut un autre, assez simple, que l'on peut énoncer ainsi : 



La fonction 



fi («) — <pi (« — 2) — Çi (m — 1 2) + <p, (h — 22) -+- cp, (m — 26) 



n 



égale 1, ou ( — 1)% ou zéro, suivant que n est un carré:, ou te double d'un 

 carré, ou tin autre nombre. 

 Par exemple : 



cp, (1C) - 9, (14) — 9, (4) = 5 — 3 — 1 = 1 , 



9i (23) — 9, (25) - 9 (1 3) -*- 9i (5) = 12— 9 — 5 -+- 1 = 1, 



9i (18) -9,(16) -9, (G) =5-5-1 =(-!)% 



9, (24) — 9, (22) — 9, (12) + ç, (2) = 1 1 — 8 — 5 + = . 



43. Seconde expression deax'fi. Des formules (54), (es), on déduit 



^-s _ 1 + ?• ( 1 ) ? + ?■ (*) *f + 9. (5) ? 3 + ■ ■ ■ (84) 



i -+- ^ (1) g+ ^ (2) g s -f- 9 (5) r/ 3 + • • • 



44. Relation entre les nombres <p, y |t D'après cette dernière valeur, com- 

 parée au développement ci-dessus (82) : 



9, (h) = I (/i) — 24- {n — 2) + 29 (n — 8) + 29 (« — d8) . . . (83) 



45. Développement de-,- Nous avons trouvé 



(5' = 1+9(1)^ + 9 (2),' + 9(5) ?«-!-•••, .... (36) 



Par suite 



1 



_=1 + 9(1)^ + 9 (2) 9 4 -»-i|>(3)ç 6 + ••■ (68) 



^=l+A l9 2 +A 29 4 +.-. + A„ 9 2 "+--., (86) 



