18 RECHERCHES 



49. Développement de Jfifi'. II est donné par la dernière formule, dans 

 laquelle on changerait q en — q. Ainsi : 



a 



a ffi= — = 1 -4- q -+- q z -+- q'' -+- q t0 h- 9 ' 5 + n 21 H (92) 



a ' 



oO. Corollaires. I. Dans le produit des fonctions 



«' = (l-ç)(l-? s )(l— q*){l-f)..., p' = (| +,«)(! +7 «)(j + 



'/' 



/e coefficient de q" es/ ( — l) n <w zéro, .s^/r^/^ gwe n es/ ou «es/ pas trian- 

 gulaire. 



II. Z)rt/«s le produit des fonctions 



«' = (!_ ç ') (1 - r/) (1 - 9 6 ) ..., #' = (t + ,) (1 + ^ (1 + 9 3 ) .. ., 



/e coefficient de q" es/ 1 ou zéro, selon que n es/ oit n'est pas triangulaire. 



51. Relation entre les nombres y . Comme 



aa'=l —q — q'+qs+q- 1 , [3' = 1 + <p„ ( 1 ) ? -+- y,, (2) ç 2 -t- cp„ (3) 9 5 + • • • , 



il s'ensuit que : 

 La fonction 



% {") — <P, (»— *) — % [n — -2) -+- y p (n — S) -t- <p p (n — 7) , 



nulle si n n'es/ pas triangulaire, se réduit à -f- 1 çwand n es/ triangulaire 

 pair, et à — 1 dans le cas contraire. 



52. Relations entre les nombres y. 1° Si n = 2m', les termes o, (2»' — 1 ), 

 f p (2w' — 5), ?ji (2m' — 7), . . . sont nuls. En même temps, ?r (2>j') = y (n 1 ), 

 ?,X^ n ' — 2) = <f(n' — 1), etc. Remplaçant n' par», on peut énoncer ainsi 

 la dernière propriété : 



La fonction 



cp («) — 9 (n — \) — y (n — 6) + y (n — H) -+- y (« — 15) — y (n — 20) 



se réduit à 1 oî« à zéro, suivant que 2n es/ ou n'est pas triangulaire (*). 



Le terme général est (— 1)'y(n — 6), 6 représentant £ (5P =f 0, \ (3<* — ou \ {3P + l) , 

 selon que / a la forme W. W — 1 ou il' -+- 1. 



