SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 19 



2° A cause de 



*'=1 — tf — 9 *-4- 9 10 + 9 u , pp'= 1 -+-(p(1)ç-t-(p(2)9 î -Hcp(3)9 5 -t----, 



on conclut, de l'égalité (92), cet autre théorème : 

 La /onction 



9 (m) — cp(« — 2) — <p(» — 4)-t-cp(» — 10) -+-cp(n — 14) 



se réduit à 1 ou « zéro, suivant que n cs< ou n'est pas triangulaire. 

 33. Relations entre les nombres 9 et f 1° On a (02), (os), (92) : 



pp- = \" 9 («) 9 " , ^ = 2" '^ M <r"> a 'PP' = ' + 1 + 9 3 + 9 e + </'"+•••; 

 et, par conséquent : 



9 (2m) = f (n) + ip (h — 3) -t- 9 (» — 5) -+- '| (h — 1 4) -t- 9 (« — 48) -t- ij/ (n — 35) -t- — , (95) 

 ? (2k+4) = •} (h) + '| (» — 4) +• Y (n — 7) ■+- 9 (m - 10) -t- 9 (» - 22) + 9 (•« — 27) + •■• . (94) 



Par exemple : 



9 (72) = 9 (36) + | (35) + '| (31) + -9 (22) + 9 (18) -+- | (1 ) , 

 9 (7-1) = <|/ (36) + | (54) + <|> (28) -+- 9 (25) + ^ (15) + 9 (8) ; 



OU (*) 



3G 352 = 17 977 + 10 145 -t- G 842 -t- 1 002 -t- 585 +■ 5, 



52 994= 14 885 -t- 12 510 ■+- 3 748 + 1 958 + 101 +- 22; 



ce qui est exact. 



2° Si l'on fait usage de la formule 



2" 'M») 9" 



(69) 



a ' 2V")9" 

 on trouve, avec la même facilité, 



[1 + 9(1)9 + 9(2)9*-+ ••.]'= [l+|(l) 9 + i|/(2) 9 2 + •■•](l + 9 + 9 5 + 9 c + ••■); (95) 



puis 



y (,i) + 9 (h- 1 ) + |(«— 5) + 4/ (h— G) h — = ç («) -1- <p (4 ) ç(« — 1) + 9(2)9(»— 2) +•■•-+- 9. (96) 

 (*) Voir Tables II et 111. 



