22 RECHERCHES 



60. Développements de ^ 1° Les fonctions «, ,5 ne différanl que par le 

 changement de q en -~7, il en doit être de même pour les fractions |j -• 



Ainsi 



£ = d -i-Cç -h C S 7?-+- ■•■ -+- C„7" + •••, (107) 



'/. 



? _ I ■- (/ — ,f - rf — tf -- g' 1 ->-(/"-*- y* 1 <■ ••• ( | ()S) 



« _ 1 — 7 — </" J ■+- '/'' ->- '/ 7 — 7" — l" ' 7** ' " " ' 



fi I -t- <p, - ( I ) 7 -t- cp, ('2) </* -h <p, ("■) ?"' ' • ■ ■ (|09) 



« ~~ I - 9, ( I ) 7 + (p, (2) 7- — tp, (5) 7-' -+-••• 



2° A cause de la formule (72), et de la relation entre « et /S, 



fi I + 'j/(l)7 4- '}(2)7*-t- 1(5)7"'+ ••■ (no) 



« ~~ 1 — + ( 1 ) 7 -+- 'I W <r - + ( :i ) 9 1 + ■ ■ ■ 



61 . J w*re relation entre les coefficients C n . D'après les formules (103), (107), 



c„ — c,c_, + C,C„_o ± c„ = (III) 



Cette équation, qui peut servir à calculer C„ quand n est pair, devient, 

 dans le cas contraire, une pure identité. Voici, je pense, la raison de ce fait : 



Le produit des séries (103), (107) a la forme P 2 — QY, P et Q représentant 

 des fonctions paires de q. Pour rendre ce produit égal à 1, il n'est donc pas 

 nécessaire d'attribuer des valeurs déterminées aux coefficients C,,C 3 , C,, ... 

 Autrement dit, ces coefficients restent arbitraires ou indéterminés (*). 



62. Remarques. I. La comparaison des formules (109), (110) conduit à 

 cette conséquence assez curieuse : la fraction (ion) ne change pas de valeur, 

 si l'on y remplace les nombres y, par les nombres <p. 



(*) L'égalité dont il est question dans le texte, est 



(I +C,7» + C 1 7* + -)« = 1 -+- ?" (C, -H C,?* -*- C t g' -+- ■•)*. 



Posant 



C 1 -+-C s 7 a -+-C li 7 < + -- = Q 1 



on a, par la formule du binôme, 



, + « ;// = + , ^ + . . = H- I q*Q - _L q>Q> + j-^_ ,«Q5 _ . ; 



relation d'où l'on tire, successivement : 



C, = ^C,, C 4 =^C 5 --CÎ, C. = i C,--C 1 C,+-CÎ,elc [Ad.] 



