30 RECHERCHES 



4° On sait que 



(I -h 7 -+- f/ 3 -t if' +■••)* = (! + 7- + q* + q" + ...) (1 + 2g -4- 2g 4 + !</> +■■■), (144) (*) 



(i — 7 — 7 3 -i- 7 6 -+- ■••y 2 = (i +'/ + '/+'/'+ •■•)(' —2'/ + V-*- -Y+ ■••); (U : >) 

 donc, à cause de la relation précédente, 

 [\+%+q*+q°+...)(i-q-q i +q°+...)=(i+q*+q°+q a +--)(i-W+2q*-ty*+---)-, (146) 



puis, en vertu de l'égalité (m) : 



(I + ,f + g « + ? « -+- 7-" +...)(!_ »if -f- 2ç 8 — ii(/ ls -i ) 



= (i - f - '/' + <i'" + q u — ) (' - '(' - 7 8 + <r + <f - -)• 



5° Le changement de q- en ± (j donne ensuite : 



(1 + ? + ^+ (/' -+- 7'"-+- ■■ ) (1 — 2ç •+- 2ç' — 2(/' -i- • • •) 



= (i — 7 - >r -+- </ 5 + </' ) (i — 9*— <?' + q w -*-q u - ■■■)■ 



( 1 — q — q'° -t- 9" h 7"' - ■ ■ •) (I -h 1q -f- 2ç 4 -f- 2ç 9 -4- • - •) 

 = (1 + ? _ç'_ 9 »_ g ' -....)(!- q*-q l + q'U-q"- ■■■), 



(147; 



(148) (") 

 • (1*9) 



6° Des égalités (i«), (us), on tire, par soustraction, 



(1 -+- q 6 -i 7"' -h </ iS -t- <["' -+- ■ • •) (f/ + f/ 7 ' -i- y- 15 -f- f/ 21 -t- q" -+-■••) 

 = (!-+- r/ ; -»- 7" + g' 2 -+- (f -i ) (7-4- y» + 7* 3 -f- 7 ,a -h 7 81 h ) ; 



(150) 



ou, en désignant par i , /', des nombres impairs : 



jf^'-xj^'^'^jr^'xrf (i5i) 



(') Lege>dki;, t. III, p. 111. La formule (144) donne les valeurs de Vie rapportées ci-des- 

 sus (152). 



(**) La relation (148) équivaut à 



ou à 



et celle-ci est une conséquence des formules (ô), (4). 



