SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS^ 31 



7° L'identité (144) peut èlre écrite ainsi : 



ou , par le changement de q en r/ 8 : 



(g + f/ <> + g» + ( f + ■ ■ ■)' = (g s +' 7" + r/° + r, 98 +•••)(!+ 2 7 s -t- 2r/ 3i + 2 7 72 -+-■••). (1 52) 



8° Faisant la multiplication par 1, réduisant, puis supprimant le facteur 2, 

 on trouve 



(f + q K + q m + q**+ ■ ■ ■) (r/ 8 -4- q ra + f> + f 2S +...)= J ç'* + i " . • • (153) 



Dans cette nouvelle relation (*), i, i' sont des nombres impairs, inégaux. 

 9° Si l'on ajoute membre à membre les égalités (lu), (i*s), après avoir 

 élevé au carré, on trouve, eu égard à la relation (r>o) : 



(| + f , + f f + (]« + (,«>+ ...) 4 -t-(l -7 _ r/ + r/ + 7" 1 + ..-)' | _ (ig4) 



= 2 ( I +() ! +(/ + r/'- + 7' 2U -t- • • -) 2 ( I + 2g 2 -t- 27 8 + 2g' 8 + ■ • ■)'. * 



10° Les mêmes relations (ru), (us), combinées avec (29), donnent 

 (1 -+- g + f f h- 7 6 + ■ • -) 8 - (1 - 7 - 7 3 + 7 6 + • • ) 8 = 1 67 (I + r + q> + 7" + • • -) 8 ; (153) 

 ou, ce qui est équivalent, 



(g -Hg» + g* + g»-t- .. -) 8 - (7 - 7' — 7 23 + 7 <9 -+- • • •)" = Ifi [<f + ?" + 7™ + <f + ' ' -f- O 56 ) 



11° On a aussi, d'après les formules (lit), (us) : 



(l + f;+ 9 ! + 7 6 -f- 7 10 h Y— (1 — 7 — 7 3 -t- 7° -+- g 40 ) 4 



= (| ^^^.g'+gWH-...)' [(] + 2g-+-2g 4 -4- ••■) 2 — (1—27+27* )«]; 



c'est-à-dire (31) : 



(l- ) -7-+-7 3 + 7 6 +-) 4 — (1 — 7-7' -h 7 6 -+-•••)*= 87(1 -t-7 2 -+-7 ,1 -i-7 l -+-) î (1+7 i -H7'^ -y 2 ; (157) 



(*) Elle ne diffère pas de l'identité (31). 



