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i RECHERCHES 



77. Développement de (/3/3') 2 . Si Ton suppose 



(y : ;f = 1 + G, 7 + G i? s + ■••-. G,//" + ■ ■ ■ , (168) 



les nombres ailiers G„ sont déterminés par les propriétés suivantes, ana- 

 logues à plusieurs des théorèmes ci-dessus : 



1" La fonction 



G„ - 2G„_, + 2G„ , — 2G„_ 9 + 2G„ lc 



se réduit à ( — 1)' om à zéro, suivant que n est on n'est pas le double d'un 



nombre penlagonal (*); 



i" La fonction 



G„ — G„_| — G„_.j -+- G„_s ■+■ G„_, — • • • 



égale I ou zéro, suivant que n es/ ou n'est /mis triangulaire. 



78. Relation entre les nombres G„, y. Dans le premier membre de l'éga- 

 lité (i<is), le coefficient de q" est 



G n = f[n) -H(p(» — 1)<p(l)-*-<p(n — 2)cp(2) + —(pO )<p(n— l)-t-fp(n). . (169) 



79. Valeurs de (pp 1 )*. 1° Par la formule (i go), 



10 



(#7 = ' " f/ -t ^• 4 "^ + 7 .^ ••' • 



i _ 2g -t- 2r/ 4 — 2r/ -h 27 10 — 



2° De même, à cause de la formule (ici) : 



w ' 1 -2f/ 2 -+- 2r/ s — 27'"-+-- 

 «' 3 = 1 — ôr/ s + 37" — 77 12 -+- Kr/-" ; (24) 



1 , par le changement de (f 2 en 7 : 



(«a') 8 = 1 — dq -t- r>7 7, — 77 1 '' + 1)7" - ... ; (172) 



} _ _-,,* ,.57* — 77".. (1?5) 



donc 



1 ' ' I — 07 + 07' - 77° -+- 



(') Conséquemment, G„ est impair «huis le premier cas, pair Huns le second. 



