SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 55 



(SO. Nouvelle identité. La comparaison des formules (no), (173) prouve 

 que 



(1 + tJ + c f + y* + q l " + •■■) (1 — ôq -f-S</ : ' — 7ç 6 + •■•) ) _ (|74)(-) 



= (1— 2f/ + 2? 4 - 2 7 9 +- ■••)(! — 37 2 + b 9 6 — 7 9 is H- •••)■) 



81. Développement de {fi^y. Si 



((3(37= I + H t q -+- H. 2 7 2 ■+-■■• + ll„q n h , 



les nombres entiers II„ sont, évidemment, définis par chacune des propriétés 

 suivantes : 



1° La fonction 



H„ - 2H„ _, + 2H„_, - 2H,_, + ■■■ 



égale 4 ou zéro, suivant que n est ou n'est pas triangulaire ; 

 2° La fonction 



II„ — 3H„_, h- 5H„_ 3 — 7H„_ 6 + 9H„_ 10 , 



nulle si n /«'es/ pas le double d'un nombre triangulaire, se réduit à 

 (2/ -f- 1) ( — 1)' dans le cas contraire, c'est-à-dire quand n = 1(1 + 1). 



82. Relation entre les nombres f, H„. Il est visible que 



h„=2 ( pW ( p( 6 ) < pW' (l7:,) 



le signe 2 s'étendant à toutes les solutions entières, positives ou nulles, de 

 l'équation 



x -+- y + ; = /* 0'6) 



83. Remarques. I. A cause de «/3/3' = 1, les propriétés démontrées dans 

 les numéros (74) et suivants, comprennent celles qui se rapportent aux déve- 

 loppements àe~,^_,^iya,a,oî\ Par exemple : 



i-y-g'+y' 1 -»-? 7 '— 2g+2g'— V+- _ 1— q'-g'+g"-*-?" 7) 



" |_,<_,' + ,'» +? "_ .. — I —9 -r/^-1-9 5 +- 9 7 I -t- r/ -h </'-+- 9 6 -f-7 ,0 -t--- 



I — 27 -+- 27 4 — 27" -+- 27'° I — g — 9* + g" -+- g 1 /j7 8 j 



~ ] — q — g 4 ■+- q 10 -+- q H I -+- q + g 5 -+- q" -+- 7 10 H 



1 — 2r/ -h 2g 4 — 29" -h 2c' 6 I — 07 -f- oq z — 77 6 h ,| 7() ) 



a = i -t- 7 + 7 3 -t- 7 6 -f- 7 10 h ~~ I — Ô7 2 -t- Sg 6 — 7ç 12 -+- • • • 



(*) La valeur commune des deux produits est — (««')'' = «V*. 



