58 RECHERCHES 



9° D'ailleurs 



«" = 1 — 5g s -+- 5g 6 - 7g 12 -t- V (24) 



10° Enfin 



a" = (1 — q* — g*-t-g i0 -H q" ) 3 (54) 



85. Remarque. Il résulte, des douze expressions précédentes de a' 5 , que la 

 série (24) est décomposable : 



1° De sept manières différentes, en trois facteurs inégaux ; 



2° De trois manières différentes, en deux facteurs égaux et en un facteur 

 différent des deux premiers ; 



3° En trois facteurs égaux. 



Ce résultat paraît assez curieux, surtout si on le rapproche de ce qui a 

 lieu pour les polynômes (*). 



86. Formes diverses de (_«*')*. Elles résultent des formules précédentes, 

 dans lesquelles q" 1 est remplacé par q ; savoir : 



Kf= (1 — 2g + 2?' — 2g 9 -t- ••■)* (1 +- q H- g 8 -+- g 6 -+- •■•) 



= - q~ q*+q*-*- ?' ) (i — 2?-i- 2g* — 2g 9 + •••) (1 — g s - g'-f-g ,0 -f-g" 



= (1— 2g*-+- 2g 8 — 2g ,8 -+- •••) (I - 2g+ 2g*— 2g 9 + ••■) (1- g — g 5 + g s -+-g 40 ) } (194) 



= 1 — 5g -+- 5g 8 — 7g 6 -+- 9g 10 



= (d-g-g î +g»+g^—..) 3 . 



87. Formes diverses de (/3«') 7 \ Le changement de </ en — <y donne 



(|î«') 3 = (1 + 2g + 2g' + 2g 9 -+- ■■■)' (I — g — g 5 -»- g" -4- •■•) 



= (i -+- g — g' 2 — g 8 — g'-+- •■•) (I + 2g-t-2g'-+- 2g 9 + •••) (1— g*— g 4 -w/'°-H g" ) 



••)(l-4-2g-t-2g«-4-2g 9 -+--)(I-Hg-i-g 8 +g 6 -i-g 10 -»--) \ (195) 



88. Développement de a 1 ' 2 . 1° Pour essayer de le former, rappelons-nous 

 qu'un terme quelconque de «' a la forme ( — 4)'r/"~ , "'(so). 



(') 11 est bien vrai qu'à une série dividende cl à une série diviseur données, correspond tou- 

 jours une série quotient. Mais, quand les deux premières séries, même supposées très-simples, 

 sont prises arbitrairement, la troisième, si tant est qu'on en puisse assigner le terme général, 

 est, presque toujours, fort compliquée. Ici, au contraire, chacun des facteurs est aussi simple 

 que le produit. 



