SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS 39 



D'après cela, si l'on suppose 



à" = 1 h- L,f/ 8 + Uq' + ■ •• + L„<f' -+-■•• (196) 



2„=(3/* T /)-M3r T /'), ( ,97 ) 



on a 



L„ = 2(-i)' + ". ( ,98 ) 



le signe 2 s'étendant à toutes les solutions, en nombres entiers, de l'équa- 

 tion (197) 



On peut l'écrire ainsi 



24n + 2 = (6^1) s +(6/'=Fl) 2 : (199) 



il s'agira, dans chaque cas particulier, de décomposer 24/* + 2 en deux 

 carrés (*). Cela posé, suivant que / et V sont de même parité ou de parités 

 contraires, ( — l) !+ '=± 1. Donc enfin 



Le coefficient L„ est égal à l'excès î du nombre des solutions de l'équa- 

 tion (199), dans lesquelles 1 et V sont de même parité, sur le nombre des 

 solutions dans lesquelles ces inconnues sont de parités contraires. 



89. Application. Soit 2m = 80, 12» + 1 = 481 = 13 . 37. Les mé- 

 thodes connues (**) donnent : 



481 = 16 2 + 45'=20*+ 9 2 , 

 2.481 =962 = 31*+ l 2 = 29*+ H*; 



puis 



f_5, f'~=0; 1 = 0, J'=5; J = 5, J' = 2; J = 2,J'=8. 



Dans chacune de ces quatre solutions, l et l' sont de parités différentes ; 

 donc L i0 = — 4 : le terme cherché est — 4<y 80 . 

 En effet, si l'on multiplie par elle-même la série 



| _ g' _ q* + (/ "> + y" _ q » _ q «> +. g« + ç «_ f/ ™ _ ^ + . . . , . . . (52) 



on trouve, comme seuls produits partiels contenant </ 80 : 



IX -f\ <y"x — 7™, -ï"xf, -fXl- 



(*) Il est facile de voir que si a 2 -+-6* = 24 n + 2, les nombres entiers a, b ont nécessaire- 

 ment la forme G/x. ± 1. 



(**) Voir, par exemple, un remarquable travail de M. Gesoccbi (Nouvelles Annales de Mathé- 

 matiques, t. XIII). 



