SUR QUELQUES PRODUITS INDEFINIS. M 



on trouve 



*'*==(! — q l — q*+q«>+.q«>— q a )(1— 2ç*-H2a 8 — 2« ,8 -t----]- . (205) (*) 



93. A u 1res théorèmes sur les coefficients L n . 1° Dans le second membre 

 de l'égalité (202), un produit partiel quelconque a la forme 



3/. 2 + ). /'{/'+!) 



(-i) ; 7 ' ? * ; 

 donc 



4/) = (5).' --Ç- i) -t- à' (/' -+- I), 



OU 



48n + 4 = (6) zp ')* + 3(2/'-+- I) (204) 



Par suite : 



Le coefficient L n égale l'excès du nombre des râleurs paires sur le nombre 

 des valeurs impaires de À, satisfaisant à l'équation (204). 



2° La formule (203) donne, avec la même facilité, le théorème suivant : 



Le coefficient L n égale deux fois l'excès e' du nombre des solutions de 

 l'équation 



l2«-»-i=(6x=F4) , + 3-(2y)*, (205) 



dans lesquelles x et y sont de même parité , sur le nombre des solutions dans 

 lesquelles ces inconnues sont de parités contraires (**). 



94. Remarques. L Ainsi qu'on a déjà pu l'observer ci-dessus (91), les 

 valeurs de L„ croissent très-lentement. Cette conclusion résulte surtout du 

 développement de «'% prolongé, par exemple, jusqu'au terme r/' 2u0 . On 

 trouve : 



a' 2 =l — 2c/ 2 — q* + 27"+ c/ 8 + -2q w — 27'*— 2c/ 16 — 2c/ ls -+- f> + 2c/ 26 -+- 5c/ 28 — 2c/ 30 -+- 2c/ 32 



— 2c/ 38 — 2</ iu — 2c/ 46 - q a -+- 2c/ ; ' 2 -+- 2c/ 5 '— 2c/' 6 -+- 2c/ 58 -+- f ■+• 2c/" h- 2c/ C6 — 2c/ 68 — 2c/" 1 

 + 2c/ 72 — 2c/ 76 — 4c/ S0 -f- c/ 88 — 2c/ 90 -i-2c / w -t-27"" J -H2c/ l,,2 -H c/ , " , -2c/" G -4-2c/"°-t-2c / " 2 — 2c/" 8 



— 2c/' 22 — 2c/ ,S6 +2c/'' 28 — 4c/ 132 — 2c/ ,r8 — c/"" -4-2c/" 2 - t -2c/" 6 — 2c/'''' + 2c/ ,M 4-4c/"' 8 -+- c/' co -+-2c/ 166 



— 2c/ l68 -+-2c/ 17 "— 2c/' 72 -i-2c/ 178 — 2c/ 182 — 2c/' 86 — 27 188 — 2c/ ,02 -+-2c/ 2UO -i- ■•■ (206) 



f) Ces deux expressions de a' 2 s'accordent avec l'identité (122). 



(**) Cet énoncé suppose y différent de zéro. Dans le cas opposé, e'est-à-dire quand » a la 

 forme / (5/ =p 1), 2e' doit être augmenté de ( — I )'. 



