42 RECHERCHES 



H. Dans ce développement, les seuls coefficients impairs sont ceux de 

 f l"> <{'■> 7 S > ( f 20 > ( r% <j* s > • • • A cause de 



ce résultat était nécessaire. 



9o. Expressions de «' 2 /5'. Nous avons trouvé (65), (66), (84) : 



a'*(3'=(l -w/ -t-</ s -w/ 6 -w/ , ° -+...)(«— r/ -r/'-t- f/° -w/'" ), . . (207) 



«Y = (* — ?'— ?'+?"W ){i-q i — q*-hq m + q m ), . . (208) 



Jff = (1 — 2r/-+- 2g' 6 — 2g» 58 + ■■■)(*- f — <f ■*■ ?" + <t' ) ; • • (1 89) 



donc, par l'identité (ne), 



«'»p' ={\ -+- g' -t- (f + q" h ) (I — <jtq* .+- 2g 8 — 2q l * ■+■ 2r/ M ). [Ad.] (209) 



96. Développement de «' 2 /3'. Les manières les plus simples de le former, 

 consistent à partir des formules (207) ou (20s). Si l'on suppose 



«7 = 1 + ^»+?^+...+?^+..., (210) 



on aura, soit 



soit 



y<.x+t) )()+D ;'i)'4-D 



Par conséquent, si l'on considère les équations 



2» = (SP tD + î (3P =f H , 2n = >fl 2 +11 + -' (> ' o +0 > 



que l'on peut écrire ainsi : 



24/n- 3 = (6f=Fl) s -+■ 2 (6f q= 1)*, (211) 



8» -1- t =(> -+- /'-4- t) s -4- (i — ij, (212) 



on a les deux propositions suivantes : 



1 ° Le coefficient P„ égale l'excès du nombre des solutions de l'équation (211), 

 dans lesquelles 1 et V sont de même parité , sur le nombre des solutions dans 

 lesquelles ces inconnues sont de parités contraires ; 



