SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 43 



2° Le coefficient P n égale l'excès du nombre des valeurs de V, satisfaisant 

 à l'équation (212), et ayant les formes 4,«, 4^ — l, sur te nombre des autres 

 valeurs de celte inconnue. 



97. Application. Soit 2» = 130. Les dernières équations deviennent 



I 563= (6/ =p 1/ + 2 (6/' ^ 1)% 521 = (> + >' + 1)' + (> _ >')». 



521 est un nombre premier, de la forme 4/*+l, Conséquemment ce 

 nombre est décomposable, d'une seule manière, en une somme de deux 

 carrés. On trouve 



i + x' -+- 1 =.20, A — A' = ±11;. 



puis ces deux systèmes de valeurs : 



> = 1 5 , i ' = 4 ; i = 4, >'= 15. 



D'après le second théorème, on a P 68 = 2. En effet, dans le produit des 



séries 



l -t- q + g- 8 -+- 7 e -w/ 10 H h ? ,l ° + ? «» _,. . . . , 



\—q — q l + ( f -t- q" + q*» + ? «« ; 



le terme P 6b q ,s0 = q i0 x q™ + q" 20 X </ 10 . 

 Prenons maintenant l'équation 



I 5(33 = ((il =p 1)* + 2(0/' q= 1)5. 



On y satisfait par 



f = S, i' = 3; /=6, /' = 2; (*) 



donc P 05 = 2. D'ailleurs, si l'on fait le produit des séries 



1 _ ,f _ q* + q «> + q u _ q « _ q «> + q u + q n _ q *> _ q «> + q m + qlu > 



1 — v 4 — ry 8 + 7" u -+- f/ 8 - </ 48 — r/ co + </ m ■+- ry 104 , 



on trouve 



p^/ 130 — (- <r x - 7 6j ) + (-+- <r i x -»- v 28 ). 



(*) i 565 = 2<jV 2 . 19 = 37 2 + 2.13' 



