U RECHERCHES 



98. Développement de («'/S' 2 — «'*/3'). On a 



1 -i- q* -t- ç 6 -4- q xi -+- g* h = a!p' 1 '. . . (16) 



De là résulte que la formule (209) équivaut ;'i 



a'P' j - «'»£' = 2 [I -+- ,f + ,(• h- q" -s- ■ ■ ■] [q* — ,/ s -4- 7 ,s — q* -+- . . .] . . (213) 



Soit 



Q = (i +'/ 3 -' 7*+ <i vl + •■•) ('/"— 7*+ 7 IS - 7 3i + -) = '/"+ Q*7 4 -< *- Qnq*"+ ■■■ (214) 



En terme quelconque du produit a la l'orme q 1 , + 1 X (— l) y ~ V/-^. Par con- 

 séquent, si l'on pose 



2« = x (x.+ I) -+- 2)/-, 

 OU 



8/1-1- I = (2x-t- I) ! -h2(2(/)*, (215) 



on voit que : 



Le coefficient Q„ e^afe l'excès du nombre des valeurs impaires sur le 



nombre des valeurs paires de y, vérifiant l'équation (21s). 



99. Remarques. I. D'après l'expression de «'/3' 4 : 



Si te nombre 11 est triangulaire; ou, ce qui est équivalent, si 811 -f- I est 

 carré (*), P„ = 1 — 2Q n . /)«/<« fe ras contraire, P n = — 2Q n . 



II. On a vu, précédemment, avec quelle lenteur croissent les coefficients 

 des puissances de q, dans le développement de a' 2 (94). Le même fait s'ob- 

 serve dans la série Q. En effet, le calcul direct donne 



Q = q 1 + q* _ (/ < ' + q*" + f> + q'-'—q 1 ' -4- 7 3; — q" — q™ -.- ç" -t- q>* -+- g" + <f"— ? « 

 "+- 7 7 "- q n —q n —q u - q u + 7 90 -4- 7 M -f- 7 ""— 7 " J - t - ? «°«- + - ? «»-v- ? <<°- V -? Hi — ? <"_ ? «° 



_ q"*— ( fU— q H*+ (l ™ \-q l »- i -q«*—ql»- i -q<'»+9q"*- i -qi»-.q™+q™—q*» + ... 



Ainsi, pour toutes les valeurs de /* qui ne surpassent pas 100,Q„ = ± 1 

 ou 0, excepté Q 87 = 2. 



100. Vérifications. 1° Si » = 87, l'équation (21s) devient 



C87 = (2x -t- I ) ! -h 2 (2i/) 



= (2»' -4- l)\ Alors l'équa 

 y = 0. Quant à l'équalion (212), on y satisfait par X = A'= n 



n ==— =-; — ; donne 8« -t- 1 = (2»' -4- l)\ Alors l'équalion (21 5) est vérifiée par x = n'. 



