SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 45 



On n'y satisfait que par a? = 3, y = 9; a? = 4 2, y = 3 (*). Donc Q S7 = 2. 

 2° L'équation (212) est, dans le cas actuel, 



697 = [x -+- x'-t- if-i- [x — x'f. 



Le facteur 17 = 4 2 4- 1 2 ; le facteur 41 = 5 2 -f- 4 2 . Pour décomposer 697 

 en deux carrés m" 2 , v~, il suffit de faire (**) 



„ + l . l /^T=(4 + i^ri) e (4_V=T) l - 9 (s + 4l/=T)°'(:i _ii/^i)'-' J ', 



en attribuant à 5 et 6' les valeurs 0, 1. On trouve ainsi 



M =l6,r = 2I; m = 24, r = 1 1 ; 



puis 



; = 18, r = 2; 1 = 2, >' = 1 S ; 1 = 17, >' = 6; X = 6, i' = 1 7. 



Aucune des valeurs de ?.' n'a la forme ky. ou la forme 4,« — 1 ; donc (96) 

 P 87 = -4 = — 2Q S7 . 



3° L'équation (211) est, pour >* = 87 : 



2 O'Jl = (6/ qz I) 2 -4- 2 (G/' :p l) 2 . 



Le premier membre admet quatre diviseurs de la forme 8p -f- 1 et quatre 

 diviseurs de la forme 8^ + 3. Conséquemment, le nombre des solutions 

 est | + | = 4 (***). En effet : 



2 091 = 45*-+- 2 . 1 1" = 57 2 -+- 2 . 1 9 2 = 29* -1- 2 . 2S = 13*-+- 2.51 '; 



puis 



/ = 7, T = 2; / = G, l'=ô; / = 5,/' = 4; f = 2,/' = o. 



Dans chacun de ces systèmes, / et /' sont de parités contraires; donc (96) 

 P 87 = — 4. 



(*) Le nombre 097= 17.41 : il a donc quatre diviseurs, tous de la forme 8^-+- 1 . D'après un 

 théorème démontre par M. Genocchi [Nouvelles Annales, t. XIII, p. 167), le nombre des solu- 

 tions de l'équation considérée doit être | ; ce qui est exact. 



(**) Voir la Note de M. Genocciii. 



(***) Nouvelles Annales, t. XIII, p. 168. Ce nombre de solutions serait réduit, si les valeurs 

 de I, V n'étaient pas entières; circonstance qui ne se présente pas dans l'exemple considéré. 



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