SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 47 



III. 



SUR DEUX AUTRES FONCTIONS NUMÉRIQUES. 



103. Définitions, propriétés fondamentales. Soient 



|i||H-l) 



(i -4-x)(l +X-)...(\ +X")=2 A»»P)*"« ( 219 ) 



I 



;i — x)(t — x')...(l -x" 



2 F(»,p)x" (220) 



Il est visible que : 



1° f (n, p) est le nombre des décompositions de n en parties inégales, 



non supérieures à p; 



2° F (n, p) est le nombre des décompositions de n en parties égales ou 

 inégales, non supérieures à p; 



3° Si p devient infini, f (n, p) = <? (n), F (n, p) = <p (n); 



4° Si Ton suppose p >n, les fonctions numériques /', F ne diffèrent pas 



de <», (i; c'est-à-dire que 



r f(»,n) = <p(n), F(n,n)«<K») (221) (*) 



1 OG. Propriétés de la fonction F. 1° L'égalité (220) peut être écrite ainsi : 



(x+x 2 +x 3 +-) (x+x 3 +x s +..-) [X+J+-X 1 + ■■■). ..{x+x^+x** 1 -*--) =2 _ F(«,p)x'-".(222) 



Par conséquent : 



// ?/ « autant de manières de décomposer une somme n en parties égales 

 ou inégales:, non supérieures à p, qu'il y en a de décomposer n + p en 

 p parties appartenant, respectivement, aux progressions : 



1, 2, 5, 4, 5, c,..., 



I, 5, 5, 7, 9, H,..., 



1, 4, 7, 10, 13, If.,..., 



(*) Par exemple, le nombre des décompositions de 6, en parties inégales, non supérieures 

 à 9, ne diiïère pas du nombre des décompositions de 6 en parties inégales. Autrement dit, 

 f (6,9) = cp ((3) = 4. 



