48 RECHERCHES 



l,'o, 9, 13, 17, 2i,..., 



1 , p ■+■ i , 1p -+- 1 , ôp -+- i , . . . 



Ce dernier nombre est (railleurs celui des décompositions de n -j- p en 

 p parités, égales ou inégales (*); donc : 



// y a autant de manières de décomposer n en parties égales ou inégales. 

 non supérieures à p, qu'il y en a de décomposer n + p en p parties, égales 

 ou inégales (**). 



2° Si Ton multiplie par 1 — x' 1 les deux memhres.de l'égalité (219), 

 le premier membre devient 2 F (»,P — ■''"• 



D'ailleurs, dans le nouveau second membre, le coefficient de x" est 

 F (« , p) — F (n — p, p)- Conséquemment , 



F(w,/3) = F(/i,p — l)-t- F(« — p,p) (225) 



Ainsi : 



Le nombre des décompositions de n, en par/tes qui ne surpassent pas p, 

 égale le nombre de décompositions de n en parties inférieures à p, augmenté 

 du nombre de décompositions de n — p en parties qui ne surpassent pas p. 



107. Relations entre tes nombres y, <f, } F. Euler a démontré (***) les 

 égalités 



(I +.r)(l -+-x'-')(l -Hr')---= I -+-- — t.- h h-, (224) 



A M ' i-x (|-x)(l-x 2 ) (|_ x )(l-.r,(l-.r 5 ) A ' 



! x x s a; 3 



— : — = 1 -\ h h h—. (225) 



(l-j)(l -.r') (I -.»■")... I-x (l_xj(l-a 2 ) (I— a-)(l — x a )(i — ^) 



Il en résulte 



tp (h) = F (n — 1, 1) + F (n — 3, 2) -t- F (n — 6 r 5) h , . . . . (226) 



•!/(/>) = F (h— I, i)+. F(h — 2,2) -*- F(«. -3,3) h ;. . . . (227) 



puis ces théorèmes : 



1 ° Le nombre des décompositions de n , en parties inégales, se compose du 



(*) Mélanges mathématiques, p. ô\2. 

 (**) Introduction à l'Analyse, p. 244. 

 (*•*) Id., pp. 239 et 243. 



