SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 49 



nombre des décompositions de n — 1 en parties qui ne surpassent pas 1 , 

 augmenté du nombre des décompositions de n — 3 en parties qui ne sur- 

 passent pas 2, augmenté du nombre des décompositions de n — 6 en parties 

 qui ne surpassent pas 3 , etc. ; 



2° Le nombre des décompositions de n, en parties égales ou inégales, se 

 compose du nombre des décompositions de n — 1 en parties (jui ne surpassent 

 pas 1, augmenté du nombre des décompositions de n — 2 en parties qui ne 

 surpassent pas 2, augmenté du nombre des décompositions de n — 3 en 

 parties qui ne surpassent pas S; etc. 



ION. Remarque. Le second membre de l'égalité (22s) peut être écrit sous 

 ces diverses formes, différentes de la première : 



1 x- x* x" 



\—x (1 — a-)(l-x 2 ) (i — x){\~ x' 2 )(l — 3? 



1 X 3 



( l-,)(l-x 5 ) (<—*)(! — a») (I — **) 



I 



[i — x)li — x 8 ) (1 - x 3 ) (I -x) (1 - x 5 ) (1 - x 3 ) (4 -x 1 



Conséquemment , 



( p(n) = F(»,4)+ F(n —2,2)+ F (« — 3,3) + F (« — 4,4) h- ■•• t 



= F (n , 2) -+- F (n — 5, 5) -+- F (n — 4, 4) h J 



— -h F(«;3). + F(n — 4, 4) h î 



= !■>, 4) -*-••■ 



. (228) 



109. Relation entre les nombres F. On conclut, des dernières égalités, 



F («./,) = F (n- 4, I) -+- F(«— 2,2) + ■•■ -+- F(« - y), p). . . (229) f) 



Par exemple, le nombre des décompositions de 7, en parties qui ne sur- 

 passent pas 3 , égale le nombre des décompositions de 6 en unités, augmenté 

 du nombre des décompositions de 5 en parties qui ne surpassent pas 2, aug- 

 menté du nombre des décompositions de 4 en parties qui ne surpassent pus 3. 



(*) Cette propriété résulte aussi de la relation (223). 



