m RECHERCHES 



Ces décompositions sont : 



7 = l+l+t + l+t+t+l=t + t+t+J+t+î=t+t+l+l+3 



=1+1+1+2+2=1+1+2+3=1+2+2+2 



= 1 +3 + ô = '2+2 + â; 

 6 = 1 + 1 + 1+1 + 1+); 



5 = 1 + 1+1+1+1=1 + 1+1+2 = 1+2 + 2; 

 i=l + l4 1+1=1+1+2 = 1 + 5 = 2 + 2. 



Ainsi, 



F(7,3) = 8, F((i,!) = l, F(b,2) = 3, F(4,3) = 4; 



et l'on a, en effet, 



8 = i -+. 3 + 4. 



110. Remarque. La dernière relation est une conséquence de l'identité 



I X X 2 X* 



*+-. *t. rr. «+••■ + » r^ ^rr" -=■ («30) 



(I — x)(l— x 2 )...(l — a") 1— x (I— x)(l— x 2 ) (l-.r)îl— x ! )...(l — x)" 



1 i I . Relation entre les nombres F, f. Si Ton divise membre à membre 



les égalités (219), (220), on trouve, en observant que f(n,p) = si n sur- 



p (p + n 

 «««se ^—4 — - : 



2 f (*.p)«" 



- -^1 ("231) 



2 /("'P) J 



Il est visible que le développement du premier membre est 2 F (/*, />) -r" ; 

 donc 



2"F(» I j,)^xf"/ , (ii,p)«"=2 *F(«,p)x", .... (232) 



»=" „=<) ii=« 



puis 



V(n,p) = f{n,p) + ?[l,p)f(n-%,p) + F{*,p)f{n-*,p)+- . . (253) 



112. Relation entre les nombres f. D'après la remarque précédente, 

 l'égalité (219) peut être remplacée par 



(l+x)(l+x 2 )...(l +x") = 2 /'{»,]>) ■<" (234) 



