SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 51 



Le premier membre égale (1 +») ... (1 + a? -1 ) X (1 + % v ) ; donc 



,,=o n=» 



et y par suite, 



/■(h, p) = /'(«, p-l) •+/•(«-/», p - I), (2oï>) 



théorème qu'il est facile de démontrer directement. On peut l'énoncer ainsi : 

 Le nombre des décompositions de n , en parties inégales qui ne surpassent 



pas p, est éfjal à la somme des nombres de décompositions de n et de n — p 



en parties inégales, inférieures à p. 



H 3. Autres relations. 1° On tire, de la dernière égalité, 



/(n,p) = /(w-2,l) + /> — 3, 2)-t- •■--+-/"(« — p,p-l); ( 236 ) 



/(»,p)=/(w,p-i)-H/-(n-p î p-2)-*-/ r («— 2p + t,p — 3)+/"(w-3p + 3,p-4)+-, 



c'est-à-dire 



fl.,,)-rv[.- ''-'''»-" --'-']- ■ • • ,237) 



a=l L. - J 



Prir oxcniolc 



' /-(Ô6,l I) = f (36,10) + f (25,9) + f (18,8) + /"(«J); 



ou, d'après la Table IV : 



68 = 29 -+- 22 -+- 1 3 -+- 4. 



2° Dans le développement du produit (1 + x) (1 -fa? 9 ) ... (1 + ^) 5 les 

 termes également éloignés des extrêmes ont même coefficient ; donc 



nn,p) = f[^^-n, P ] (238) 



I 1 4. Remarque générale. Il est évident que les séries d'EuIer (224), (225) 

 peuvent servir à développer les fonctions elliptiques «, «', /3, /3'.' Par exemple, 

 le changement de a? en r/ donne d'abord 



,10 



aft' — l ? ( l ? ï h--, (239) 



?? ~ 1 — g"*"( 1 —g) (4 — ç«ï (i — ç) (i — g^) (ï"— 4") (i-?)(i-9')(W)(*-? 4 ) 



J , , 9 ... '/' , <î ■ ?! +...;(240) 



1-? (l-?)(l-? s ) (l-?)(l-? s )(l-9 ! ) (1 -</)(!-?*) (1-9*) (»-î*) 



aa 



