68 RECHERCHES 



Si, par exemple, «'=251, on ;i 



Aj S , = - A lîs = A 31 = — A 1S : - i A, = — A 3 = -4- A, = — i . 



138. Remarque. Le dernier calcul ne diffère pas, au fond, de celui qui 

 résulte de la règle ci-dessus (135). Car les égalités (264) donnent 



i __2 Jî ' +a: " +J! '" + '"+' -+- 2 J1 '+ a "+' 5! '" + " , + a -4-2 <■«"+■■•+( _^..._t_ | , , (266) 



pourvu que 2 a soit le dernier quotient; et, au moyen de cette formule, 

 le nombre i est décomposé en puissances de 2. 



Dans l'exemple précédent, les exposants «', a", «'", ... sont 1 , 2, I , I , I , I ; 

 donc 



231 = 2 7 -+- 2° -1- 2 S + 2 1 -4- 2 : + 1 h t = 1 28 + 04 + 32 -t- ! (i -4- 8 + 2 -4- I . 



1 39. Développement de q ^-j— Si, dans l'égalité (285), on prend les loga- 

 rithmes, puis les dérivées, on trouve, en multipliant par 7 : 



u'((A q 2ir a* 80 8 



— q—±l = — i— + î— + 4 — t— --t- Î—-h.... . . . -267) 



<*{q) i — 7 t —7 i -7 1 - 7 

 Le développement du second membre est, après y\w réduction évidente, 



q ■+- (4 — i ) q % -4- çf* -*- (8 — 1)7*-+- r/ s -t- (4 - I ) 7° -4- </ 7 

 H-(t6-i)7 8 + 7» -4- ('. — 1) 7 10 -+- #y*' -+- (8— 1)7"-+- ■•• 



Donc, si l'exposant est impair, le coefficient égale I ; et, si l'exposant a la 

 forme 2°% le coefficient est 2.2*" — 1. Soit représentée par S„ cette fonction 

 numérique ; alors 



a [il) 



7 ; ". = % -*- S,»/- -4- S =7 -h 4- S„7" -t---- (268) 



tr(<7) 



1 10. Relation entre les coefficients S„. Pour l'obtenir, il sullil de multi- 

 plier le second membre par 



n (7) = I — 7 — 7° -t- 7 3 — 7 ! 4- 7 ' + 7 1 ' - • • • , 



et d'identifier le produit avec 



— 'I~' (7) = 7 " H ^7* — Ô7 7 ' -4- iiy 4 Siy" fiç* 4 77' -t- ••• 



