SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 69 



On obtient ainsi 



S„ — S„._, — S„_,+ S»..,— S„_ 4 + S„_ 5 + S„_ 6 = ±»z, . . . (2f»9) 



selon que ?j est la somme d'un nombre impair ou d'un nombre pair de 

 puissances de 2. 

 Par exemple, 



S 9 — S 8 — S, + S 6 - S s + S 4 -+- S- - S„— S, = - 9, C) 



ou 



1 _ (|(i_ i) . . | + (4 — 1) - I +(8 — I) -t- 1 - (4 — I)- 1 = — 9. 



141. Théorème d'arithmétique. D'après Tune des remarques ci-dessus 

 (136, IV), si n est un multiple de 4, la somme de tous les termes égaux 

 à ± 1, dans le premier membre de l'égalité (200), est nulle. Par suite, ce 

 premier membre se réduit à 



2.2 — 2a " — 2.2 ' •+- 2 .2 h 



De là résulte la proposition suivante : 



Soit N un multiple de 4 (**), donné. Soit u un nombre pair, inférieur à N. 

 On décompose n en une somme de puissances de 2, et l'on fait X„=± I, 

 selon que le nombre des parties est pair ou impair. Enfin, supposant 

 N — -n = 2'ï, on a 



2 i„2 ,3 " = ±-; (270) 



/ e s ig ne _|_ répondant au cas où N es/ /« somme d'un nombre impair de 

 puissances de 2. 



142. Application. Soit X = 20. Les valeurs de n sont 



0, 2, 4, G, 8, 10, 12, 14, 1G, 18. 



Donc 



j n = ir"V_l, -4, 1,-1, I. 1,-1,-1, I ; 



N— «=20, 18, 1G, 14, 12, 10, 8, G, 4, 2. 



(*) 9 = 8-+- 1 ; on doit donc prendre le signe — 

 (**) Si N n'était pas multiple de 4, l'énonce serait moins simple. 

 (***) On suppose toujours /„=!. 



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