70 RECHERCHES 



Les plus hautes puissances de 2 qui divisent ces nombres, sont respec- 

 tivement : 



4, 2, IC, 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2. 



De plus, 20 = 16 + 4. Ainsi, Ton doit trouver 



4 — 2 — 16 -h 2 — i- h- 2 -»- 8 — 2 — 4 -t- 2 = — 10; 



ce qui est exact. 



1 13. Remarques. I. Le symbole l n représente le coefficient de q" dans 

 le développement de v> («/), ou A„. La formule (200) peut donc être écrite 

 ainsi : 



"(7) = 2" M"- 



1) 



IL Par suite, l'égalité (2S6) devient 



«*• = 2" Kq° x 2" 1 »7 3J x Y' '■')" x — > ■ 



OU (i(ï) 



2" (- 1 / 7^ = 2" M" X 2' M M X J" M* X • (271) 



III. Dans le second membre, le coefficient de q n est 2 \A\ ••• > pourvu que 



u -+- ôb -+- oc +■••• = « (272) 



On a donc ce théorème, analogue à plusieurs de ceux que nous avons 

 démontrés dans le Paragraphe II : 



La somme 2 WK ••■ , étendue à toutes les solutions entières et positives 

 de l'équation (272) (*), égale (• — ■ 1)' ou zéro, selon que le nombre n est ou 

 n'est pas pentagonal (**). 



144. Développement de Iw(q). La relation (20s) étant écrite ainsi : 



-I-h(4— t)9-+y-t-(8-i)</ 3 1 -7 4 +(/,.-l) 7 ''-f 7'''-t-(li; — l)7 7 -w/ 8 t -(4-l)r/ 9 + ■••, 



"(7) 



(') On verra bientôt que le nombre de ces solutions esl <p(«). 



(**) On ne doit pas oublier que le symbole >., représente 1: I . suivant (/ne a w>f décoiii potsubU 

 m un nombre pair ou en un nombre impair de puissances de 2. 



