SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 71 



on en conclut 



4_1 1 8 — 1 , I . 4 — i , 1 . Ki — I 1 „ 



-fa(?) = 7 + — ?*+ g9 5 + -p- 9'+ g'/" ^— ? + 77'+ -g-9 + 7/1- 



OU 



/ 1 I I \ /4 8 4 16 



- fa (7) = (? - g ^ 1 '/'- 4 ql + ■ • V + Il ^ 4 ? + 6 ''" "* T ''' 



-4- 



La première série est le développement de /(l + </). Quanta la seconde, 

 il est visible, d'après les calculs ci-dessus (139), que le coefficient du terme 

 contenant y 2 " est -^ = 7' si l'on suppose %ti = TH. La dernière égalité 

 devient donc 



14o. Remarques. I. Dans l'application, on doit se rappeler que i repré- 

 sente le plus grand diviseur impair de n. 



II. Si Ton change q en q-, et que Ton ait égard à l'équation (201), on 

 trouve 



'7 — = -2~*^7"-7 2 ") • («*) 



I — 7 „=0 * 



Cette relation, identique au fond, peut être utile pour le calcul des loga- 

 rithmes. On en déduit, par exemple, 



M 4 13 40 121 5G4 1 095 n 



L» î»' 2 S.9 3 9 4 !>.»■ 3.9° 7.9' J 



146. Développement de I '^- Dans la relation (275), changeons q en q 7 ", 

 en </ 5 , ..., et ajoutons membre à membre : nous trouvons 



- I [-(7) *(7>{7 B )*(7') •■•] = '[(• +7)0 + 7°) (' + 7") ■••] + 22t(7 s "+- 7'"'+ 7""+ -)î 

 c'est-à-dire (25e), (s) 



(*) On arrive directement à celle formule, si l'on fait attention que 



- te (q) = - IQ —g) — l{i - fy*) - / (1 - g») - . 



