72 RECHERCHES 



ou bien, 



& . ; i 



=o i 1 — (f 

 147. Remarque. Si l'on substitue, au premier membre, 



^^.L-L'^W 



1—7" I — </* I 



,c 



et que Ton remplace les logarithmes par leurs développements, on obtient 

 encore une identité. 



148. Développement de — I («V). Lorsque, dans la fonction ^> on rem- 

 place </" par q, elle devient -^=— • Donc 



11 serait facile de multiplier ces transformations. I\ous n'en indiquerons plus 

 qu'une. 



149. Décomposition de /S/3'. Au moyen de la remarque faite par Euler 

 (135), la fonction 



ffl={\ +q){\ + q*) (l + 9 «) ... X (I + q>) (I +f/) (I +q a ) ... X (l+</")(' + ?'°) (I -Wf") - X ... 



peut d'abord être décomposée en ce produit de séries fort simples : 



1 + '/ "+■ '1*-+- î 8 - 1 - '/'-*-•) 1-*- <f'-*~ 7"-t- <?'-+- '/"-+- • •■> '-*- 7 5 -+- ? ,0+ 7 ls -<- ••>■■■ (') 



si l'on remplace ensuite /3/S' par son premier développement (52), on a cette 



relation 



X?M?"=2Vx2V 4 x2Vx-- (277) 



150. Théorème d'arithmétique. Il suffit de l'énoncer : 



£e nombre des décompositions de n e« parties inégales (ou y (m)), cV/afe 



(*) Cette décomposition résulte aussi de l'identité (7). 



