74 RECHERCHES 



Dans cette équation, changeons q en q' 1 , en q*, en <y s , . . . :à cause de 

 f(q n )= /ww 1 ' n infini, la somme des premiers membres est 



^ = 1(? _1 ) ( ' 280)n 



Conséquemment 



(1 — k')* + (\ — &',)«,+ (I — &)»*+ ■■• = 2»— w (-2«lj 



On voit que les quantités (1 — k') «, (1 — k{)w, ... forment une série 

 convergente , dont (a somme est %> — n. Chacun de ces termes peut, de deux 

 manières différentes, être développé en série ordonnée suivant les puissances 

 de q ; et il en est de même pour la somme. 



153. En premier lieu, la combinaison des formules (17), (is), (51) donne 



( I — k) a = inq (i-t-q' -+- qr" + 7 51 n- •• • -f (282) (*') 



On a aussi (is) 



2k — 77 = 4r (f/ + 7'-+ 7*+ 7'°-+- ■• -)(1 ■+■ q -+- r/'-t- ç 9 + qr ,6 -4- ■■■): 



donc l'équation (28i) devient 



</(l + q i + q u +q- i -*- •••) î -+-ry s (l+g 8 -^ 2 *+g 48 -i- ••■)? + g*(1 -i-7 ,6 -»-</* s -i- 7™h- •■•)' 2 -t- 



= (f/ + f/ , + (/'+r/ + ■••) (l-i- 7 + g 4 h- r/"'-i ) 



(283) 



154. Avant d'aller plus loin, nous ferons deux remarques : 



1 " f{q) = (7 -+- 7' + 7'» + 7" 1 -f- •• •) (1 + q -+- 7' + g 9 -+- • • •) ; . . . . (28'. 



2" Chacune des relations (281), (285) équivaut à celle-ci : 



r 7 ( f , ? J 1 r r 7 { 7 



L\ — q* I— 7 6 I—7"' "J + Ll— 7* l— q li i-q w 



f 7* 7''' , 1 3 '/' . </ 4 



U-7 S 1-7'' J 



(285) 



I - 7 1 — 7 5 I — <f 



(*) Jacobi, Fundamenla nova, p. 103. 

 (**) Legendre, t. III, p. I 10. 



