SUR QUELQUES PRODUIS INDÉFI MS. 75 



Pour la démontrer directement, il suffit de vérifier que 



J^ + _«L r+ -_SL rH ....._L (286) 



1 — f/' 2 I — <i l 1 — (f I — 7 1 " 1 - 7 



Or, si Ton développe le premier membre, on trouve 



'/ '- ( i"+ '/ 5 + 9 t+ 7 S + •••; 

 etc. (*) 



153. On sait, et il est d'ailleurs évident, que dans le développement de 

 l'(q), le coefficient de q" égale l'excès e du nombre des diviseurs de n, 

 ayant la forme ky. + 1, s«<;- fe nombre des diviseurs ayant la forme 4p — I . 

 Conséquemment, les termes en q", q~'\ q'"\ ... ont même coefficient; et, pour 

 déterminer s„, il suffit de considérer le cas où n est impair. Cela posé : 



1° Si le nombre n a la forme 4<u — 1, e„=0. En effet, à chaque divi- 

 seur ayant cette forme, il en correspond un ayant la forme contraire; 



2° De même, s„ = quand n, ayant la forme 4^ + 1, n'admet aucun 

 facteur premier de cette forme ; 



3° 5/ le nombre n a la forme ky. -f- 1 , z a égale le nombre des diviseurs de n 

 exclusivement formés des facteurs premiers ayant cette même forme (**); 



4° En particulier, e n = 2 lorsque n est premier et de la forme kp + 1 ; 



5° Si n est une puissance d'un nombre premier kp. — 1, dont l'exposa ni 

 soit pair, s„ = 1 ; 



6° L'excès e„ n'est jamais négatif. 



(*) Semblablement : 



Ces identités, assez remarquables, se vi'riiient aussi facilement que la première. 

 (**) Je supprime la démonstration , parce que le théorème est sans doute connu. 



