76 RECHERCHES 



S .'»<). Effectuant le développement de chacune des fractions qui composent 



/'(ç)(277), on trouve : 



/ '('!) = 7 + i 1 -*- <l'^ -7''-+- 7* ' ï' + -'/'" ! "-ty" +- 7 1 " »- 2</"-t- </ ls -+- 27-"+ ■ ■■; . ■ (287) 



et il esl visible que les coefficients satisfont aux conditions précédentes. 



157. Ces diverses propositions peuvent être généralisées de la manière 

 suivante : 



Soit h =p a p' a 'p" a ". . . x f/V'V"* • • • ? les premiers facteurs ayant la forme 

 k[j. — 1, et les seconds, la forme 4p + 1. Soit E„ l'excès relatif au premier 

 produit. II est visible (pie : 



4° e« = E„(/3+ i)(/S'-f 1)05"+ 1)...; 



2° vSV tows les exposants a, «', «", ... .s-o/// patV* . E„ = 1 ; 



3" Dans le cas contraire , E n = 0. 



Donc 



e„ égale zéro ou (fi + 1) ((3' -h 1) (S" -t 1) . . . . [Ad.] (*) 



158. Soit maintenant 



F (q) = q + q- ,. q* + 7 S -+- q' 6 -*-••• (288) 



D'après Tune des remarques précédentes, et celle que nous avons faite au 

 numéro 131, la formule (287) devient 



A17) = f ,F ('/) + ^('/ ! ) + '» F ('/")■*- ■■• (289) 



OU 



/•(7) = 2>.h-.L'(7"" + ')- • • ' (290) 



! oî>. Il est évident que 



F (7)- F (?') = 9; (291) 



donc 



/"(<?) -/■(Ç 1 ) =2" W9"* 4 ; (292) 



puis 



(\ — k')a _,« 



= 7(1 + 7' + 7" +7" ■+- •••)* = ^ ^-m7 1 " t '. • ■ • • (293) 



ï; 



r(- - l) = (7 -<■</'-♦- v'-t-'Ai- ■••)(' -•-'/+'/'*- '/'■'- •.■•) = T< ; 4»+ 1 F(9*" +1 )- (294) 



On vérifie aisément ces propriétés en considérant le produit 



[l— P-+-P*— -+- - p)«]| 1 — p'-+-p ,s -•■■ +(— ?')*']•••• 



