SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 77 



160. Si, dans la relation (293), on change q* en q, elle devient 



(i + 'i + '/+'/ + -F = rw/'; (293) 



■"■il 



c'est-à-dire (20), 



7 ^-l/I = ^ = 2% 1 „ + ,7" (2%) 



161. Cette dernière égalité donne une nouvelle décomposition de la série 

 qui représente a' 3 (24); savoir (39), (m) : 



1 _ 5? *+ 5? « _ 77'* + ... = 2" <p f (n) (- 7)" X 2" (- • )' ^ X F ^-H?" • (297) 



Elle prouve aussi que la série 



a' 2 = (1 — 7 2 — q 1 -f 7"' + v u - • ■ ■)* 



est décomposable en un produit de trois facteurs, etc. Mais passons à d'autres 

 propriétés. 



162. Si, pour abréger, on appelle S, S', S" les sommes contenues dans 

 les équations (295), (295), (29e), on trouve 



- . r i s " , 1 -+- 4S' — 8S /C)ÛQ > 



u =- 1 m-4S')(* . l//c=2f/* . // = ■ • • (298) 



2 v ' I -t- 4S' 1 -+- 4S' 



Ces valeurs de yk et de /:', comparées à celles que Ton connaît (20), 

 donnent les identités 



I -w/- t - f/ " +</'*+ ,/"+ ■■■ _ S" (299 ^ 



t + 2</ -4- -2(f -+- 2r/ -+-•••' l-i- 4S' ' 



rl-a 7 -HV- ay 'H--t I-.4S-8S 



Ll -t- 27 + 2r/« -h 27° -t- • • • J 1 -t- 4S' 



De plus, 



(I -4-4S' — 8S) î (4 -t-4S') î =(l-*-4S')'— 16gS" 4 . . . (301) ('*) 



163. Relations entre f(q),F(q) et une autre transcendante. Dans ma 



(") Jacobi, Fundumentu nova, p. 10b. 



(*') Ces identités ne sont pas nouvelles : elles équivalent aux relations (H4), (51), ete. 



Tome XL. H 



