SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 81 



Soit n = S : on doit trouver 



_ 8ç . ( 8) = _ cp, (7) + cp, (6) + cp, (4) + (p f (0) + 4) [- cp, (5) + cp, (2)] - G<p, (3) — 8cp, (1). 



En effet, cette égalité est la même chose que 



_ 8 .2 = — 1 + lH-i-*. 1 + 4 [— i -+- o] — 6 - 8. [Ad.] 

 1 70. La combinaison des formules (280), (302) donne 



ou (290) 



ou encore, attendu que e.=0 quand / n'a pas la forme 4>-f 1 (155) : 



• [X/^^" + ^={X {'f { - ( ) V{fl ' ] -X '''/''■ ■ ■ ■ (3l0) 



171. Soit 1 un nombre impair, donné. Dans le second membre, le coef- 

 licient de q { est \ {fi — «,). Dans le premier membre, ce coefficient est une 

 somme de produits, laquelle peut être mise sous deux formes différentes. 



1° Si d'abord, pour plus de simplicité dans la notation, on remplace la 

 quantité entre parenthèses par 



/'(?) = h'i + nq* + h<f -+- nq* h — • 



on voit que la somme cherchée égale 



2 [f ,-£,•_, -*- v, ;,+ •■- + ^-lEi+il = 2 2 " f " f - 



L 2 2 J ..=1 



(311) 



Conséquemment, 



yu-*r 



f„f,_ 



(512) 



On a donc ce théorème, qui me paraît remarquable : 



La somme des diviseurs d'un nombre impair i se compose de l'excès relatif 



