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à ce nombre i, augmenté de quatre fois la somme des produits deux à deux 

 des excès relatifs aux nombres inférieurs à i et dont la somme est i (*). 



2" Chacune des sommes (su), (312) contient un grand nombre de termes 

 nuls : en effet, e„ = quand n =h v .-~ 1 (155). De plus, e n = e 3m . De là 

 résulte (**) que 



Eifi-l+W. 2-+- ■■• -+- F i_l<[i±! 



= M f i ,-f-f, -2 -+-f,-J "+- f, -8 •+" •••) -+" f 5 (f,-5 "+- E, :.I U + fj-so-f- ■ ••) 



■+- f 9 (fi-9 ■+■ fi- 18-t- fi-M-+- E.-7Î + ••■)-+- ^13 (f, 13+ Ei-26 + f,-52 + ■ • •) 

 -4- 



= 2i l!i "+'2i e ,-'. j ii«+i) '•> 

 sous la condition ■ „„,, ,<.*' ,-,_, 



î— 2 a (4n + !)>- (.)!.,) 



On peut donc écrire, au lieu de l'équation (312) : 



y t — *i + *2 '*** 2 *•-*(*+„• • • (-"H 'OC") 



En particulier, 



/ 45 = f„ -4- 4 [r , (f „ 4 e a + e tl -+- f s , -4- f„) -n e s (f„, -+- f r „, -t- e m ) h- f 9 ( f - 6 -+- f „) + f 15 f 3 , -+- f „F œ ] 



= f 4S -+- 4 [f 1 (f 4 , + Fj, + f s9 ) -1- E s (f 5 -4- Fj„) -4- C 3 . f 9 -4- F |3 ] , 



on 



78 = 2 -+- 4 [2 -+-2-4-2 + 2 (2 -*- 5) -4- \ + 2] : 



ce qui est exact. 



172. L'équation (310) peut donner d'autres théorèmes. Par exemple, en 

 égalant les coefficients de (f , dans les deux membres, on trouve 



5y\= f , + 4 2 fi ,, + l 2 W(n , +ij -4-2 f =. (515) 



(*) Lorsque i est premier, cette somme de produits se réduit i\'-^±- Par exemple : 



17 — 1 



'',f ,„ + F-F, 5 + £ 3 f „ "4- V, 5 •+" V, 2 + f,f„ + f,f ,„ -4- F,f , = 

 011 ( 155 ) f,(t, B -4-f,.,-4-t l3 +f n )-hf 5 f, ! = 4, 



ou enfin l _|_ o + | _ j 



(") Foiyer la note précédente. 



("*) On arrive plus rapidement à ce résultat, mais d'une manière moins simple, en conser- 

 vant, dans le premier membre de l'égalité (319), la seconde forme de f(q). 



